Editing Beta-Zerfall

Jump to navigation Jump to search
Warning: You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you log in or create an account, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.

The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.

Latest revision Your text
Line 1: Line 1:
<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>


:<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
   & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\  
   & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\  
  & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\  
  & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\  
  & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\  
  & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\  
\end{align}</math> wobei <math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge
\end{align}</math>
 
<math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge


reduziert formuliert als
reduziert formuliert als
:<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
   & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\  
   & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\  
  & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\  
  & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\  
Line 14: Line 18:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe {{FB|Isobarenregel}} als Folgerung aus der [[Tröpfchenmodell,_Weizsäckersche_Massenformel#I._Isobarenregeln|Weizsäckerschen Massenformel]]
Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung
aus der Weizsäckerschen Massenformel S. 8
 
[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=2|zentriert]]


[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Schema beta Strahlung]]


Beim ß-Zerfall ist neben der {{FB|Halbwertzeit}} <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. {{FB|Impulsspektrum der Elektronen}} (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt
Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer
die {{FB|Gesamtübergangswahrscheinlichkeit}} <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit
Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die
Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons)
mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt
die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit
die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>.
die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>.




Fermi-Ansatz <ref>Z. Physik 88, 161 (1934)</ref> in Analogie zu elektromagnetischen
Fermi-Ansatz [Z. Physik 88, 161 (1934)] in Analogie zu elektromagnetischen
Übergängen. Störungstheorie ([[Fermis Goldene Regel]])
Übergängen. Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
:<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math> mit
 
*Wechselwirkungsoperator <math>\mathcal{H}</math>: <math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math>
*Dichte der Endzustände dN/dE<sub>0</sub>
[[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz  
[[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz  
<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math>
<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math>
]]
Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
]]


:<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math> mit
 
*<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion
Wechselwirkungsoperatord(<math>\mathcal{H}</math>:  
*<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion
<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math>
*(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)
 
Dichte der Endzustände dN/dEo
 
 
<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math>
 
<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion
 
 
<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion
 
 
 
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)




Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen  
Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene
Wellen  
<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar  \right)}^{2}}+\ldots </math>
<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar  \right)}^{2}}+\ldots </math>
 
Bei der Integration
Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit <math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math> vernachlässigen, da für <math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math> und für alle <math>E_\nu</math> gilt:
kann man zunächst alle Anteile mit  
:<math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math>
<math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math>
vernachlässigen,
da für
<math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math>
und für alle <math>E_\nu</math> gilt: <math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math>
und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der {{FB|Leptonenemission}} kein
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein
{{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>).
Bahndrehimpuls weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>).
 


Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante
[[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png|miniatur|"klassische" Deutung
[[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png|miniatur|"klassische" Deutung


<math>L=Rp\overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,\,n\hbar </math>
<math>L=Rp\overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,\,n\hbar </math>
Line 55: Line 85:
Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend
Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend
]]
]]
Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß  
Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß  
<math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math>
<math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math>
Line 60: Line 92:
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
<math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt.
<math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt.


Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger
Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger
Line 65: Line 98:
\sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
\sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>:
Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>:
:<math>\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}\tilde{\ }\frac{dN}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }\frac{p_{e}^{2}d{{p}_{e}}p_{\nu }^{2}d{{p}_{\nu }}}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }p_{e}^{2}{{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}d{{p}_{e}}</math> wegen
 
<math>p_{\nu }^{2}={{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}/{{c}^{2}}</math> und
<math>\frac{d{{p}_{\nu }}}{dE}=\frac{1}{c}</math>


[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]
[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]
 
Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von Eo '
Durch Extrapolation bei der {{FB|Fermi-Darstellung}} Bestimmung von <math>E_0</math>.
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E<sub>0</sub> möglichst
des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung EO möglichst
klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall<math> ^3H \to ^3He + e- + \bar \nu</math> mit
klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall 3H ~ 3He + e- + v mit
<math>E_0 = 18 keV (t_{1 /2} \approx 12a)</math> [<math>m_\nu c^2</math> zur Zeit <math>\le 7eV</math>].
EO = 18 keV (t1 /2 ~ 12a) [mv c 2 zur Zeit :SreVj.
 
 
Integration über Impulsspektrum:
Integration über Impulsspektrum:
:<math>\lambda =\frac{\ln 2}{{{t}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}=\mathop{\int }_{0}^{{{P}_{0}}}\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}=\text{const }f(Z,{{E}_{0}})\text{ }</math> mit f ( Z, E<sub>0<sub>) über Coulomb-Korrekturfaktor
Po
 
\ = ~ =JA(P )dp = const. 1\ tee
 
1/2 o
Die f-Werte sind tabelliert <ref> Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
f ( Z, Eo)
Phys. 22, 399</ref>. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
i über Coulomb-Korrekturfaktor
Die f-Werte sind tabelliert (z. B. Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
Phys. 22, 399). Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
Grobe Abschätzung:
Grobe Abschätzung:
;nichtrelat. Bereich: (Eo « 1 MeV) : <math>E_e ~ p_e^2\to</math>
~ JP;dPe 2 pci ~ E 3,5
<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{6}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{7}\tilde{\ }E_{0}^{3,5}</math>
nichtrelat. Bereich (Eo « 1 MeV) : Ee ~ Pe~f ~ 0
;relat. Bereich (EO > 1 MeV):<math>E_e ~ p_e^2\to</math>
>
<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{4}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{5}\tilde{\ }E_{0}^{5}</math>
Pe~f ~ Jp!dPe
 
5 E 5
 
relat. Bereich (EO ~ 1 MeV) :Ee ~ ~ Po ~ 0
Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
der beiden Leptonen parallel ({{FB|Gamow-Teller-Übergänge}}) oder antiparallel
der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-übergänge) oder antiparallel
({{FB|Fermi-Übergänge}}) stehen können. Für erlaubte Übergänge
(Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge
(<math>\Delta l = 0</math>) gelten somit die Auswahlregeln:
(.6.1 = 0) gelten somit die Auswahlregeln:
;Fermi-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}\to \Delta I=0</math>
~ ~ Fermi-Ü: I i ;:: I f nv.6..1 = 0
;Gamow-Teller-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}+1\to \Delta I=0,\pm 1</math>
Gamow-Teller-Ü: I i = I f + 1 ~.6.I = 0, ±l (0 <-I~ 0)
 


anschaulich:
anschaulich:
 
1'r ~ 1'r + 1'r + ~ Fermi
<math>\begin{align}
~ n p e 1/
  & \Uparrow &\to &\Uparrow +&\Uparrow +&\Downarrow &\text{Fermi} \\
1'r ~ ~ + 1'r + 11 Gamow-Teller
& n&\to &p+&{{e}^{-}}+&\bar{\nu } & \\
& \Uparrow &\to &\Downarrow +&\Uparrow +&\Uparrow &\text{Gamow-Teller} \\
\end{align}</math>
 
===Verbotene Übergänge:===
===Verbotene Übergänge:===
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft<sub>1/ 2</sub>-Werte
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft1/ 2-Werte
Beiträge für diese Übergänge aus:
Beiträge für diese Übergänge aus:
a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen
a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen
 
e ipr /ll = 1 + li (pr/-tl) - ~(pr/1'l')2J +- ...
<math>{{e}^{ipr/\hbar }}=1+\underbrace{i\left( pr/\hbar  \right)-1/2{{\left( pr/\hbar  \right)}^{2}}}_{\text{bisher vernachl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ssigt}}</math>
v
 
bisher vernachlässigt
b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v<sub>N</sub>/c-Beiträge
b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit vN/c-Beiträge
 
 
Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:
Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:




[[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png|miniatur|hochkant=4|zentriert]]
[[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png|miniatur|hochkant=4|zentriert]]
==Einzelnachweise==
<references />
==Weitere Informationen==
(gehört nicht zum Skript)
===Prüfungsfragen===
*ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
*Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
*Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
* Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
** Fermi- und GT-Übergänge
Please note that all contributions to testwiki are considered to be released under the Creative Commons Attribution (see Testwiki:Copyrights for details). If you do not want your writing to be edited mercilessly and redistributed at will, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource. Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel Editing help (opens in new window)

Templates used on this page:

Retrieved from "http://physikerwelt.de:8080/w/index.php?title=Beta-Zerfall"