Editing Beta-Zerfall
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Latest revision | Your text | ||
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\ | & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\ | ||
& \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\ | & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\ | ||
& {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\ | & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge | |||
reduziert formuliert als | reduziert formuliert als | ||
<math>\begin{align} | |||
& n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\ | & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\ | ||
& p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\ | & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe | Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung | ||
aus der Weizsäckerschen Massenformel S. 8 | |||
[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=2|zentriert]] | |||
Beim ß-Zerfall ist neben der | Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer | ||
die | Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die | ||
Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) | |||
mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt | |||
die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit | |||
die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>. | die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>. | ||
Fermi-Ansatz | Fermi-Ansatz [Z. Physik 88, 161 (1934)] in Analogie zu elektromagnetischen | ||
Übergängen. Störungstheorie ( | Übergängen. Störungstheorie (Fermi Goldene Regel) | ||
[[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz | [[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz | ||
<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math> | <math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math> | ||
]] | |||
Störungstheorie (Fermi Goldene Regel) | Störungstheorie (Fermi Goldene Regel) | ||
:<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math> | |||
Wechselwirkungsoperatord(<math>\mathcal{H}</math>: | |||
<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math> | |||
Dichte der Endzustände dN/dEo | |||
<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math> | |||
<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion | |||
<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion | |||
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen) | |||
Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen | Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene | ||
Wellen | |||
<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar \right)}^{2}}+\ldots </math> | <math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar \right)}^{2}}+\ldots </math> | ||
Bei der Integration | |||
Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit <math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math> vernachlässigen, da für <math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math> und für alle <math>E_\nu</math> gilt | kann man zunächst alle Anteile mit | ||
:<math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math> | <math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math> | ||
vernachlässigen, | |||
da für | |||
<math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math> | |||
und für alle <math>E_\nu</math> gilt: <math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math> | |||
und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen | und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen | ||
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist | also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist | ||
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der | gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein | ||
Bahndrehimpuls weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>). | |||
Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante | |||
[[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png|miniatur|"klassische" Deutung | [[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png|miniatur|"klassische" Deutung | ||
<math>L= | |||
<math>L = p R \overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,n\bar</math> | |||
Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend | Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend | ||
]] | ]] | ||
Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß | Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß | ||
<math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math> | <math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math> | ||
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des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor | des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor | ||
<math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt. | <math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt. | ||
Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger | Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger | ||
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\sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das | \sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das | ||
Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>: | Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>: | ||
[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]] | [[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]] | ||
Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von Eo ' | |||
Durch Extrapolation bei der | |||
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, | Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, | ||
deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung | deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung | ||
des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung | des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung EO möglichst | ||
klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall | klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall 3H ~ 3He + e- + v mit | ||
EO = 18 keV (t1 /2 ~ 12a) [mv c 2 zur Zeit :SreVj. | |||
Integration über Impulsspektrum: | Integration über Impulsspektrum: | ||
Po | |||
\ = ~ =JA(P )dp = const. 1\ tee | |||
1/2 o | |||
Die f-Werte sind tabelliert | f ( Z, Eo) | ||
Phys. 22, 399 | i über Coulomb-Korrekturfaktor | ||
Die f-Werte sind tabelliert (z. B. Feenburg, Trigg, Rev. Mod. | |||
Phys. 22, 399). Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit. | |||
Grobe Abschätzung: | Grobe Abschätzung: | ||
;nichtrelat. Bereich | ~ JP;dPe 2 pci ~ E 3,5 | ||
nichtrelat. Bereich (Eo « 1 MeV) : Ee ~ Pe~f ~ 0 | |||
> | |||
Pe~f ~ Jp!dPe | |||
5 E 5 | |||
relat. Bereich (EO ~ 1 MeV) :Ee ~ ~ Po ~ 0 | |||
Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins | Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins | ||
der beiden Leptonen parallel ( | der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-übergänge) oder antiparallel | ||
( | (Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge | ||
( | (.6.1 = 0) gelten somit die Auswahlregeln: | ||
~ ~ Fermi-Ü: I i ;:: I f nv.6..1 = 0 | |||
Gamow-Teller-Ü: I i = I f + 1 ~.6.I = 0, ±l (0 <-I~ 0) | |||
anschaulich: | anschaulich: | ||
1'r ~ 1'r + 1'r + ~ Fermi | |||
~ n p e 1/ | |||
1'r ~ ~ + 1'r + 11 Gamow-Teller | |||
Verbotene Übergänge: | |||
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft1/ 2-Werte | |||
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere | |||
Beiträge für diese Übergänge aus: | Beiträge für diese Übergänge aus: | ||
a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen | a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen | ||
e ipr /ll = 1 + li (pr/-tl) - ~(pr/1'l')2J +- ... | |||
v | |||
bisher vernachlässigt | |||
b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit | b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit vN/c-Beiträge | ||
Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge: | Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge: | ||
[[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png|miniatur|hochkant=4|zentriert]] | [[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png|miniatur|hochkant=4|zentriert]] | ||