Editing Beta-Zerfall

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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>


:<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
   & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\  
   & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\  
  & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\  
  & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\  
  & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\  
  & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\  
\end{align}</math> wobei <math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge
\end{align}</math>
 
<math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge


reduziert formuliert als
reduziert formuliert als
:<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
   & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\  
   & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\  
  & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\  
  & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\  
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe {{FB|Isobarenregel}} als Folgerung aus der [[Tröpfchenmodell,_Weizsäckersche_Massenformel#I._Isobarenregeln|Weizsäckerschen Massenformel]]
Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung
aus der Weizsäckerschen Massenformel S. 8
 
[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=2|zentriert]]


[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Schema beta Strahlung]]


Beim ß-Zerfall ist neben der {{FB|Halbwertzeit}} <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. {{FB|Impulsspektrum der Elektronen}} (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt
Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer
die {{FB|Gesamtübergangswahrscheinlichkeit}} <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit
Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die
Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons)
mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt
die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit
die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>.
die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>.




Fermi-Ansatz <ref>Z. Physik 88, 161 (1934)</ref> in Analogie zu elektromagnetischen
Fermi-Ansatz [Z. Physik 88, 161 (1934)] in Analogie zu elektromagnetischen
Übergängen. Störungstheorie ([[Fermis Goldene Regel]])
Übergängen. Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
:<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math> mit
 
*Wechselwirkungsoperator <math>\mathcal{H}</math>: <math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math>
*Dichte der Endzustände dN/dE<sub>0</sub>
[[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz  
[[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz  
<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math>
<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math>
]]
Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
]]


:<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math> mit
*<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion
*<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion
*(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)


Wechselwirkungsoperatord(<math>\mathcal{H}</math>:
<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math>


Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen
Dichte der Endzustände dN/dEo
<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar  \right)}^{2}}+\ldots </math>


Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit <math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math> vernachlässigen, da für <math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math> und für alle <math>E_\nu</math> gilt:
<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{*}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{*}\left( A,Z \right)d\tau </math>
:<math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math>
und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der {{FB|Leptonenemission}} kein
{{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>).


[[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png|miniatur|"klassische" Deutung
<dtif> = Iq;:(PvGe)Oq;;(A, Z+~)dr
Leptonen-Wellenfunktionen Nukleonen-Wellenfunktionen
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)


<math>L=Rp\overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,\,n\hbar </math>


Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend
Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene
]]
--+->
Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß  
Wellen q;{P) ~ ei(prl/fi = 1 + i(p-i)/l1 - ~(p-i/11)2 + ... Bei der Integration
<math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math>
kann man zunächst alle Anteile mit pi/~ vernachlässigen,
insgesamt unabhängig von p<sub>e</sub> wird und die Abhängigkeit
da für Ee ~ 1 MeV und für alle Ev gilt: l1/p = K~ 200010-15m/E[MeVj
und damit pR/l1 ~ 10-2 . Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein
Bahndrehimpuls weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge.6.1 = 0).
"klassische" Deutung
R
QM
L = poR ~ nof(
Bei pR/l1 « 1 ist nur n = 0 maßgebend
Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante
[[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png]]
Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante
g, so daß <<tif> insgesamt unabhängig von Pe wird und die Abhängigkeit
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
<math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt.
dN/dEo (der Dichte der Endzustände) steckt.
 
Allgemein bei freien Teilchen dN ~ p2 dp, somit bei gleichzeitiger
Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger
Emission beider Leptonen dN ~ dN(Pe)odN(pv) mit EO = Ee + Ev =
Emission beider Leptonen <math>dN ~ dN(p_e)dN(p_\nu)</math> mit <math>E_0 = E_l + E_\nu =
v(mocZ)Z+(PeC)2'+ Pvc (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
\sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
Impulsspektrum A(Pe)dPe:
Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>:
[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png]]
:<math>\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}\tilde{\ }\frac{dN}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }\frac{p_{e}^{2}d{{p}_{e}}p_{\nu }^{2}d{{p}_{\nu }}}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }p_{e}^{2}{{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}d{{p}_{e}}</math> wegen
Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von Eo '
<math>p_{\nu }^{2}={{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}/{{c}^{2}}</math> und
<math>\frac{d{{p}_{\nu }}}{dE}=\frac{1}{c}</math>
 
[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]
 
Durch Extrapolation bei der {{FB|Fermi-Darstellung}} Bestimmung von <math>E_0</math>.
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E<sub>0</sub> möglichst
des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung EO möglichst
klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall<math> ^3H \to ^3He + e- + \bar \nu</math> mit
klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall 3H ~ 3He + e- + v mit
<math>E_0 = 18 keV (t_{1 /2} \approx 12a)</math> [<math>m_\nu c^2</math> zur Zeit <math>\le 7eV</math>].
EO = 18 keV (t1 /2 ~ 12a) [mv c 2 zur Zeit :SreVj.
 
 
Integration über Impulsspektrum:
Integration über Impulsspektrum:
:<math>\lambda =\frac{\ln 2}{{{t}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}=\mathop{\int }_{0}^{{{P}_{0}}}\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}=\text{const }f(Z,{{E}_{0}})\text{ }</math> mit f ( Z, E<sub>0<sub>) über Coulomb-Korrekturfaktor
Po
 
\ = ~ =JA(P )dp = const. 1\ tee
 
1/2 o
Die f-Werte sind tabelliert <ref> Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
f ( Z, Eo)
Phys. 22, 399</ref>. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
i über Coulomb-Korrekturfaktor
Die f-Werte sind tabelliert (z. B. Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
Phys. 22, 399). Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
Grobe Abschätzung:
Grobe Abschätzung:
;nichtrelat. Bereich: (Eo « 1 MeV) : <math>E_e ~ p_e^2\to</math>
~ JP;dPe 2 pci ~ E 3,5
<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{6}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{7}\tilde{\ }E_{0}^{3,5}</math>
nichtrelat. Bereich (Eo « 1 MeV) : Ee ~ Pe~f ~ 0
;relat. Bereich (EO > 1 MeV):<math>E_e ~ p_e^2\to</math>
>
<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{4}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{5}\tilde{\ }E_{0}^{5}</math>
Pe~f ~ Jp!dPe
 
5 E 5
 
relat. Bereich (EO ~ 1 MeV) :Ee ~ ~ Po ~ 0
Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
der beiden Leptonen parallel ({{FB|Gamow-Teller-Übergänge}}) oder antiparallel
der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-übergänge) oder antiparallel
({{FB|Fermi-Übergänge}}) stehen können. Für erlaubte Übergänge
(Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge
(<math>\Delta l = 0</math>) gelten somit die Auswahlregeln:
(.6.1 = 0) gelten somit die Auswahlregeln:
;Fermi-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}\to \Delta I=0</math>
~ ~ Fermi-Ü: I i ;:: I f nv.6..1 = 0
;Gamow-Teller-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}+1\to \Delta I=0,\pm 1</math>
Gamow-Teller-Ü: I i = I f + 1 ~.6.I = 0, ±l (0 <-I~ 0)
 


anschaulich:
anschaulich:
 
1'r ~ 1'r + 1'r + ~ Fermi
<math>\begin{align}
~ n p e 1/
  & \Uparrow &\to &\Uparrow +&\Uparrow +&\Downarrow &\text{Fermi} \\
1'r ~ ~ + 1'r + 11 Gamow-Teller
& n&\to &p+&{{e}^{-}}+&\bar{\nu } & \\
Verbotene Übergänge:
& \Uparrow &\to &\Downarrow +&\Uparrow +&\Uparrow &\text{Gamow-Teller} \\
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft1/ 2-Werte
\end{align}</math>
 
===Verbotene Übergänge:===
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft<sub>1/ 2</sub>-Werte
Beiträge für diese Übergänge aus:
Beiträge für diese Übergänge aus:
a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen
a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen
 
e ipr /ll = 1 + li (pr/-tl) - ~(pr/1'l')2J +- ...
<math>{{e}^{ipr/\hbar }}=1+\underbrace{i\left( pr/\hbar  \right)-1/2{{\left( pr/\hbar  \right)}^{2}}}_{\text{bisher vernachl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ssigt}}</math>
v
 
bisher vernachlässigt
b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v<sub>N</sub>/c-Beiträge
b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit vN/c-Beiträge
 
 
Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:
Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:




[[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png|miniatur|hochkant=4|zentriert]]
[[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png]]
 
 
==Einzelnachweise==
<references />
==Weitere Informationen==
(gehört nicht zum Skript)
===Prüfungsfragen===
*ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
*Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
*Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
* Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
** Fermi- und GT-Übergänge
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