Editing Beta-Zerfall

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
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 <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
-:<math>\begin{align}
-  & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\
- & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\
- & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\
-\end{align}</math> wobei <math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge
-reduziert formuliert als
-:<math>\begin{align}
-  & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\
- & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\
- & {{e}^{-}}+p&\to& n+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\
-\end{align}</math>
-Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe {{FB|Isobarenregel}} als Folgerung aus der [[Tröpfchenmodell,_Weizsäckersche_Massenformel#I._Isobarenregeln|Weizsäckerschen Massenformel]]
-[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Schema beta Strahlung]]
-Beim ß-Zerfall ist neben der {{FB|Halbwertzeit}} <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. {{FB|Impulsspektrum der Elektronen}} (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt
-die {{FB|Gesamtübergangswahrscheinlichkeit}} <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit
-die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>.
-Fermi-Ansatz <ref>Z. Physik 88, 161 (1934)</ref> in Analogie zu elektromagnetischen
-Übergängen. Störungstheorie ([[Fermis Goldene Regel]])
-:<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math> mit
-*Wechselwirkungsoperator <math>\mathcal{H}</math>: <math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math>
-*Dichte der Endzustände dN/dE<sub>0</sub>
-[[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz
-<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math>
-Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
-]]
-:<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math> mit
-*<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion
-*<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion
-*(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)
-Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen
-<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar  \right)}^{2}}+\ldots </math>
-Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit <math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math> vernachlässigen, da für <math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math> und für alle <math>E_\nu</math> gilt:
-:<math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math>
-und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
-also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
-gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der {{FB|Leptonenemission}} kein
-{{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>).
-[[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png|miniatur|"klassische" Deutung
-<math>L=Rp\overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,\,n\hbar </math>
-Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend
-]]
-Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß
-<math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math>
-insgesamt unabhängig von p<sub>e</sub> wird und die Abhängigkeit
-des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
-<math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt.
-Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger
-Emission beider Leptonen <math>dN ~ dN(p_e)dN(p_\nu)</math> mit <math>E_0 = E_l + E_\nu =
-\sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
-Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>:
-:<math>\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}\tilde{\ }\frac{dN}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }\frac{p_{e}^{2}d{{p}_{e}}p_{\nu }^{2}d{{p}_{\nu }}}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }p_{e}^{2}{{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}d{{p}_{e}}</math> wegen
-<math>p_{\nu }^{2}={{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}/{{c}^{2}}</math> und
-<math>\frac{d{{p}_{\nu }}}{dE}=\frac{1}{c}</math>
-[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]
-Durch Extrapolation bei der {{FB|Fermi-Darstellung}} Bestimmung von <math>E_0</math>.
-Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
-deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
-des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E<sub>0</sub> möglichst
-klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall<math> ^3H \to ^3He + e- + \bar \nu</math> mit
-<math>E_0 = 18 keV (t_{1 /2} \approx 12a)</math> [<math>m_\nu c^2</math> zur Zeit <math>\le 7eV</math>].
-Integration über Impulsspektrum:
-:<math>\lambda =\frac{\ln 2}{{{t}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}=\mathop{\int }_{0}^{{{P}_{0}}}\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}=\text{const }f(Z,{{E}_{0}})\text{ }</math> mit f ( Z, E<sub>0<sub>) über Coulomb-Korrekturfaktor
-Die f-Werte sind tabelliert <ref> Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
-Phys. 22, 399</ref>. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
-Grobe Abschätzung:
-;nichtrelat. Bereich: (Eo « 1 MeV) : <math>E_e ~ p_e^2\to</math>
-<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{6}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{7}\tilde{\ }E_{0}^{3,5}</math>
-;relat. Bereich (EO > 1 MeV):<math>E_e ~ p_e^2\to</math>
-<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{4}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{5}\tilde{\ }E_{0}^{5}</math>
-Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
-der beiden Leptonen parallel ({{FB|Gamow-Teller-Übergänge}}) oder antiparallel
-({{FB|Fermi-Übergänge}}) stehen können. Für erlaubte Übergänge
-(<math>\Delta l = 0</math>) gelten somit die Auswahlregeln:
-;Fermi-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}\to \Delta I=0</math>
-;Gamow-Teller-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}+1\to \Delta I=0,\pm 1</math>
-anschaulich:
-<math>\begin{align}
-  & \Uparrow &\to &\Uparrow +&\Uparrow +&\Downarrow &\text{Fermi} \\
- & n&\to &p+&{{e}^{-}}+&\bar{\nu } & \\
- & \Uparrow &\to &\Downarrow +&\Uparrow +&\Uparrow &\text{Gamow-Teller} \\
-\end{align}</math>
-===Verbotene Übergänge:===
-Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft<sub>1/ 2</sub>-Werte
-Beiträge für diese Übergänge aus:
-a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen
-<math>{{e}^{ipr/\hbar }}=1+\underbrace{i\left( pr/\hbar  \right)-1/2{{\left( pr/\hbar  \right)}^{2}}}_{\text{bisher vernachl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ssigt}}</math>
-b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v<sub>N</sub>/c-Beiträge
-Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:
-[[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png|miniatur|hochkant=4|zentriert]]
-==Einzelnachweise==
-<references />
-==Weitere Informationen==
-(gehört nicht zum Skript)
-===Prüfungsfragen===
-*ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
-*Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
-*Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
-* Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
-** Fermi- und GT-Übergänge