Editing Beta-Zerfall

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

:<math>\begin{align}
  & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\ 
 & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\ 
 & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\ 
\end{align}</math> wobei <math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge

reduziert formuliert als
:<math>\begin{align}
  & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\ 
 & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\ 
 & {{e}^{-}}+p&\to& n+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\ 
\end{align}</math>

Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe {{FB|Isobarenregel}} als Folgerung aus der [[Tröpfchenmodell,_Weizsäckersche_Massenformel#I._Isobarenregeln|Weizsäckerschen Massenformel]]

[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Schema beta Strahlung]]

Beim ß-Zerfall ist neben der {{FB|Halbwertzeit}} <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. {{FB|Impulsspektrum der Elektronen}} (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt
die {{FB|Gesamtübergangswahrscheinlichkeit}} <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit
die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>.


Fermi-Ansatz <ref>Z. Physik 88, 161 (1934)</ref> in Analogie zu elektromagnetischen
Übergängen. Störungstheorie ([[Fermis Goldene Regel]])
:<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math> mit 
*Wechselwirkungsoperator <math>\mathcal{H}</math>: <math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math>
*Dichte der Endzustände dN/dE<sub>0</sub>
[[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz 
<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math>
Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
]]

:<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math> mit
*<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion
*<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion
*(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)


Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen 
<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar  \right)}^{2}}+\ldots </math>

Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit <math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math> vernachlässigen, da für <math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math> und für alle <math>E_\nu</math> gilt:
:<math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math>
und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der {{FB|Leptonenemission}} kein
{{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>).

[[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png|miniatur|"klassische" Deutung

<math>L=Rp\overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,\,n\hbar </math>

Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend
]]
Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß 
<math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math>
insgesamt unabhängig von p<sub>e</sub> wird und die Abhängigkeit
des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
<math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt.

Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger
Emission beider Leptonen <math>dN ~ dN(p_e)dN(p_\nu)</math> mit <math>E_0 = E_l + E_\nu =
\sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>:
:<math>\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}\tilde{\ }\frac{dN}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }\frac{p_{e}^{2}d{{p}_{e}}p_{\nu }^{2}d{{p}_{\nu }}}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }p_{e}^{2}{{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}d{{p}_{e}}</math> wegen 
<math>p_{\nu }^{2}={{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}/{{c}^{2}}</math> und 
<math>\frac{d{{p}_{\nu }}}{dE}=\frac{1}{c}</math>

[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]

Durch Extrapolation bei der {{FB|Fermi-Darstellung}} Bestimmung von <math>E_0</math>.
Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E<sub>0</sub> möglichst
klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall<math> ^3H \to ^3He + e- + \bar \nu</math> mit
<math>E_0 = 18 keV (t_{1 /2} \approx 12a)</math> [<math>m_\nu c^2</math> zur Zeit <math>\le 7eV</math>].


Integration über Impulsspektrum:
:<math>\lambda =\frac{\ln 2}{{{t}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}=\mathop{\int }_{0}^{{{P}_{0}}}\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}=\text{const }f(Z,{{E}_{0}})\text{ }</math> mit f ( Z, E<sub>0<sub>) über Coulomb-Korrekturfaktor


Die f-Werte sind tabelliert <ref> Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
Phys. 22, 399</ref>. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
Grobe Abschätzung:
;nichtrelat. Bereich: (Eo « 1 MeV) : <math>E_e ~ p_e^2\to</math>
<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{6}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{7}\tilde{\ }E_{0}^{3,5}</math>
;relat. Bereich (EO > 1 MeV):<math>E_e ~ p_e^2\to</math>
<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{4}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{5}\tilde{\ }E_{0}^{5}</math>


Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
der beiden Leptonen parallel ({{FB|Gamow-Teller-Übergänge}}) oder antiparallel
({{FB|Fermi-Übergänge}}) stehen können. Für erlaubte Übergänge
(<math>\Delta l = 0</math>) gelten somit die Auswahlregeln:
;Fermi-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}\to \Delta I=0</math>
;Gamow-Teller-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}+1\to \Delta I=0,\pm 1</math>


anschaulich:

<math>\begin{align}
  & \Uparrow &\to &\Uparrow +&\Uparrow +&\Downarrow &\text{Fermi} \\ 
 & n&\to &p+&{{e}^{-}}+&\bar{\nu } & \\ 
 & \Uparrow &\to &\Downarrow +&\Uparrow +&\Uparrow &\text{Gamow-Teller} \\ 
\end{align}</math>

===Verbotene Übergänge:===
Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft<sub>1/ 2</sub>-Werte
Beiträge für diese Übergänge aus:
a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen

<math>{{e}^{ipr/\hbar }}=1+\underbrace{i\left( pr/\hbar  \right)-1/2{{\left( pr/\hbar  \right)}^{2}}}_{\text{bisher vernachl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ssigt}}</math>

b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v<sub>N</sub>/c-Beiträge


Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:


[[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png|miniatur|hochkant=4|zentriert]]


==Einzelnachweise==
<references />
==Weitere Informationen==
(gehört nicht zum Skript)
===Prüfungsfragen===
*ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
*Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
*Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
* Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
** Fermi- und GT-Übergänge