Editing Beispiel des Großkanonischen Ensenbles

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Illustration am Anhand von
Illustration am Anhand von
:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
   & {{G}_{\nu }}=\left\{ H,N \right\} \\
   & {{G}_{\nu }}=\left\{ H,N \right\} \\
  & {{h}_{\alpha }}=\left\{ V \right\} \\
  & {{h}_{\alpha }}=\left\{ V \right\} \\
Line 10: Line 10:




:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
   & R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \\
   & R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \\
  & {{R}_{gk}}=\frac{1}{{{Z}_{gk}}}{{e}^{-{{\lambda }_{1}}H-{{\lambda }_{2}}N}}  
  & {{R}_{gk}}=\frac{1}{{{Z}_{gk}}}{{e}^{-{{\lambda }_{1}}H-{{\lambda }_{2}}N}}  
Line 18: Line 18:
oftmals <math>{{\lambda }_{1}}=\beta ,\quad {{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math>
oftmals <math>{{\lambda }_{1}}=\beta ,\quad {{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math>


:<math>\left( {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}} \right)\to \left( \beta ,\mu  \right)</math>
<math>\left( {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}} \right)\to \left( \beta ,\mu  \right)</math>


wir zeigen:
wir zeigen:
:<math>\beta =\frac{1}{kT}</math> Temperatur taucht auf muss gezeigt werden
<math>\beta =\frac{1}{kT}</math> Temperatur taucht auf muss gezeigt werden
:<math>\mu</math> = Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen
<math>\mu</math> = Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen




:<math>{{R}_{gk}}=\frac{1}{Z}{{e}^{-\beta \left( H-\mu N \right)}}</math>
<math>{{R}_{gk}}=\frac{1}{Z}{{e}^{-\beta \left( H-\mu N \right)}}</math>




Line 33: Line 33:
braucht man um Zustandsgleichung festzulegen
braucht man um Zustandsgleichung festzulegen


:<math>S=S\left( \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }} \right)</math>
<math>S=S\left( \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }} \right)</math>


:<math>\Rightarrow {{S}_{gk}}={{S}_{gk}}\left( \left\langle H \right\rangle ,\left\langle N \right\rangle ,V \right)</math>
<math>\Rightarrow {{S}_{gk}}={{S}_{gk}}\left( \left\langle H \right\rangle ,\left\langle N \right\rangle ,V \right)</math>


:<math>{{S}_{gk}}\left( E,\overline{N},V \right)=k\beta E-k\beta \mu \overline{N}+k\ln {{Z}_{gk}}\left( \beta \mu V \right)</math>
<math>{{S}_{gk}}\left( E,\overline{N},V \right)=k\beta E-k\beta \mu \overline{N}+k\ln {{Z}_{gk}}\left( \beta \mu V \right)</math>




Line 43: Line 43:


==Lagrangeparameter /Zustandsgleichung==
==Lagrangeparameter /Zustandsgleichung==
Beziehungen der partiellen Ableitungen aus Gibbsgleichung
:<math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S;\quad k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}</math>
für <math>\nu=1</math>
:<math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S\Rightarrow k\beta ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}};\quad k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}\Rightarrow {{\left( \frac{\partial S}{\partial N} \right)}_{E,\bar{N}}}=-k\beta \operatorname{Tr}\left( \frac{\partial H}{\partial V}R \right)</math>
:<math>\begin{align}
  & k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S\Rightarrow k\beta ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}\left( \left( \text{V},\text{N sind nicht anzufassen bei der partiellen Ableitung} \right) \right)}} \\
& k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}\Rightarrow {{\left( \frac{\partial S}{\partial N} \right)}_{E,\bar{N}}}=-k\beta \operatorname{Tr}\left( \frac{\partial H}{\partial V}R \right)\quad \left( {{\partial }_{V}}N\to 0 \right) \\
\end{align}</math>
für <math>\nu=2</math>
:<math>\begin{align}
  & -k\beta \mu ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}} \\
& k{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}}=k\beta p\Rightarrow p=\frac{1}{\beta }{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}} \\
\end{align}</math>
Man hat also Gleichungen für die Lagrangeparameter und die Zustandsgleichung für den Druck gewonnen.
Lagrangeparameter noch nicht physikalisch bestimmt!
vorweg genommen
:<math>\begin{align}
  & {{T}^{-1}}={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}} \\
& \mu =-T{{\left( \frac{\partial S}{\partial \bar{N}} \right)}_{V,E}} \\
& p=kT{{\partial }_{V}}\left( \ln {{Z}_{gk}} \right)
\end{align}</math>


==Temperatur und chemisches Potential==
==Temperatur und chemisches Potential==
es ist zu zeigen, dass die Temperaturdefinition sinnvoll ist
:<math>{{T}^{-1}}=\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)</math>
sonst darf man es nicht Temeratur nennen
dazu zeigen:
:<math>{{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}}</math> ist als Eigenschaft bei 2 System die in Konakt über eine Grenzfläche stehen gleich
{| class="wikitable" border="1"
|+ 2 insgesamt Abgeschlossene Systeme,  die in Konakt über eine Grenzfläche stehen
! System 1!! System 2
|-
| <math>{{{\bar{N}}}_{1}},{{V}_{1}},{{E}_{1}}</math>
||
:<math>{{{\bar{N}}}_{2}},{{V}_{2}},{{E}_{2}}</math>
|}
:<math>\begin{align}
  & E={{E}_{1}}+{{E}_{2}} \\
& V={{V}_{1}}+{{V}_{2}} \\
& \bar{N}={{{\bar{N}}}_{1}}+{{{\bar{N}}}_{2}} \\
\end{align}</math>
Zu zeugen:
:<math>S\overset{!}{\mathop{=}}\,{{S}_{1}}+{{S}_{2}}</math>
:<math>S\tilde{\ }\operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho  \right)=\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}} \right) \right)</math>
statistischer Operator faktorisiert für '''kleine''' Grenzflächen
:<math>\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{1}} \right) \right)+\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{2}} \right) \right)</math>
mit
:<math>\operatorname{Tr}\overset{\wedge}{=}\left\langle  {{n}_{1}} \right|\left\langle  {{n}_{2}} \right|\ldots \left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
:<math>\begin{align}
  & ={{\operatorname{Tr}}_{1}}\left( {{\rho }_{1}}\ln \left( {{\rho }_{1}} \right) \right)\underbrace{{{\operatorname{Tr}}_{2}}\left( \rho  \right)}_{1}+{{\operatorname{Tr}}_{2}}\left( {{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{2}} \right) \right)\underbrace{\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}} \right)}_{1} \\
& \Rightarrow S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}
\end{align}</math>
Kleine differnentielle Änderungen:
:<math>\begin{align}
  & dE=d{{E}_{1}}+d{{E}_{2}}=0\to -d{{E}_{1}}=d{{E}_{2}} \\
& dV=d{{V}_{1}}+d{{V}_{2}}=0\to -d{{V}_{1}}=d{{V}_{2}} \\
& d\bar{N}=d{{{\bar{N}}}_{1}}+d{{{\bar{N}}}_{2}}=0\to -d{{{\bar{N}}}_{1}}=d{{{\bar{N}}}_{2}} \\
& \underbrace{dS=d{{S}_{1}}+d{{S}_{2}}=0}_{\begin{smallmatrix}
Gesamtsytem \\
abgeschlossen
\end{smallmatrix}}\to -d{{S}_{1}}=d{{S}_{2}}
\end{align}</math>
"rüberschieben auf andere Seite"
nutze bei dS:
:<math>\begin{align}
  & d{{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}=\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{V}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{V}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}+\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{{\bar{N}}}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}+\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{E}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{E}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}} \\
& d{{S}_{1}}=-d{{S}_{2}}
\end{align}</math>
:<math>\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}}d{{V}_{1}}+\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}}d{{{\bar{N}}}_{1}}+\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}}d{{E}_{1}}=-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}}d{{V}_{2}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}}d{{{\bar{N}}}_{2\;}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}}d{{E}_{2}}</math>
mit
:<math>d{{E}_{1}}=-d{{E}_{2}},-d{{{\bar{N}}}_{1}}=d{{{\bar{N}}}_{2}},-d{{V}_{1}}=d{{V}_{2}}</math>
:<math>\begin{align}
  & \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}} \right)d{{E}_{2}}=0 \\
& \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}} \right)d{{{\bar{N}}}_{2}}=0 \\
& \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}} \right)d{{V}_{2}}=0
\end{align}</math>
weil N,V,E unabhängig variiert werden können gilt für alle
:<math>d{{E}_{2}}</math>,<math>d{{{\bar{N}}}_{2}}</math>,
:<math>d{{V}_{2}}</math>
→ folgende Eigenschaften des Systems im Kontakt sind gleich:
:<math>\begin{align}
  & {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}} \right)}_{{{V}_{1}},{{{\bar{N}}}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}} \right)}_{{{V}_{2}},{{{\bar{N}}}_{2}}}} \\
& {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}} \right)}_{{{V}_{1}},{{E}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}} \right)}_{{{V}_{2}},{{E}_{2}}}} \\
& {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}} \right)}_{{{E}_{1}},{{{\bar{N}}}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}} \right)}_{{{E}_{2}},{{{\bar{N}}}_{2}}}}
\end{align}</math>
Eigenschaft Namen geben:
inverse Temperatur: <math>{{T}^{-1}}={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}}=k\beta </math> (war berechnet)
chemisches Potential/ Temperatur:<math>-\frac{\mu }{T}={{\left( \frac{\partial S}{\partial \bar{N}} \right)}_{V,E}}=-k\beta \mu </math> (war berechnet)
:<math>\beta =\frac{1}{kT}</math>
beides muss am Experiment verifiziert werden
Druck durch Temperatr <math>\frac{p}{T}={{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{E,\bar{N}}}=k{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}}</math>
Druck kann auch gemessen werden


===Nullter Hauptsatz der Thermodynamik===
===Nullter Hauptsatz der Thermodynamik===
Line 192: Line 50:


==Optische Absorption eines Zweinivieausystems==
==Optische Absorption eines Zweinivieausystems==
===Dichtematrixdynamik und Zustandsgleichung===
===Thermische Zustandsgleichung)====
Dichtematrixdynamik für 2Niveausystem: 1 Teilchen =
:<math>{\bar{N}}</math>
Besetzungszahldarstellung
 
 
 
===Thermische Zustandsgleichung===
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