Editing Beispiel des Großkanonischen Ensenbles

<noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|2|4}}</noinclude>

Illustration am Anhand von
:<math>\begin{align}
  & {{G}_{\nu }}=\left\{ H,N \right\} \\
 & {{h}_{\alpha }}=\left\{ V \right\} \\
\end{align}</math>
definiert das großkanonische Ensemble
man kannt durch die Wahl sofort R, <math>S={{S}_{gk}}</math>


:<math>\begin{align}
  & R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \\
 & {{R}_{gk}}=\frac{1}{{{Z}_{gk}}}{{e}^{-{{\lambda }_{1}}H-{{\lambda }_{2}}N}} 
\end{align}</math>


oftmals <math>{{\lambda }_{1}}=\beta ,\quad {{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math>

:<math>\left( {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}} \right)\to \left( \beta ,\mu  \right)</math>

wir zeigen:
:<math>\beta =\frac{1}{kT}</math> Temperatur taucht auf muss gezeigt werden
:<math>\mu</math> = Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen


:<math>{{R}_{gk}}=\frac{1}{Z}{{e}^{-\beta \left( H-\mu N \right)}}</math>




==Entropie==
braucht man um Zustandsgleichung festzulegen

:<math>S=S\left( \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }} \right)</math>

:<math>\Rightarrow {{S}_{gk}}={{S}_{gk}}\left( \left\langle H \right\rangle ,\left\langle N \right\rangle ,V \right)</math>

:<math>{{S}_{gk}}\left( E,\overline{N},V \right)=k\beta E-k\beta \mu \overline{N}+k\ln {{Z}_{gk}}\left( \beta \mu V \right)</math>


Formel für Entropie siehe [[Kurzer_historischer_Überblick#Entropie|anfang der VL]]

==Lagrangeparameter /Zustandsgleichung==

Beziehungen der partiellen Ableitungen aus Gibbsgleichung

:<math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S;\quad k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}</math>
für <math>\nu=1</math>

:<math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S\Rightarrow k\beta ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}};\quad k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}\Rightarrow {{\left( \frac{\partial S}{\partial N} \right)}_{E,\bar{N}}}=-k\beta \operatorname{Tr}\left( \frac{\partial H}{\partial V}R \right)</math>


:<math>\begin{align}
  & k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S\Rightarrow k\beta ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}\left( \left( \text{V},\text{N sind nicht anzufassen bei der partiellen Ableitung} \right) \right)}} \\
 & k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}\Rightarrow {{\left( \frac{\partial S}{\partial N} \right)}_{E,\bar{N}}}=-k\beta \operatorname{Tr}\left( \frac{\partial H}{\partial V}R \right)\quad \left( {{\partial }_{V}}N\to 0 \right) \\
\end{align}</math>

für <math>\nu=2</math>

:<math>\begin{align}
  & -k\beta \mu ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}} \\
 & k{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}}=k\beta p\Rightarrow p=\frac{1}{\beta }{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}} \\
\end{align}</math>

Man hat also Gleichungen für die Lagrangeparameter und die Zustandsgleichung für den Druck gewonnen.
Lagrangeparameter noch nicht physikalisch bestimmt!

vorweg genommen


:<math>\begin{align}
  & {{T}^{-1}}={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}} \\
 & \mu =-T{{\left( \frac{\partial S}{\partial \bar{N}} \right)}_{V,E}} \\
 & p=kT{{\partial }_{V}}\left( \ln {{Z}_{gk}} \right) 
\end{align}</math>

==Temperatur und chemisches Potential==
es ist zu zeigen, dass die Temperaturdefinition sinnvoll ist

:<math>{{T}^{-1}}=\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)</math>

sonst darf man es nicht Temeratur nennen

dazu zeigen:
:<math>{{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}}</math> ist als Eigenschaft bei 2 System die in Konakt über eine Grenzfläche stehen gleich


{| class="wikitable" border="1"
|+ 2 insgesamt Abgeschlossene Systeme,  die in Konakt über eine Grenzfläche stehen
! System 1!! System 2
|-
| <math>{{{\bar{N}}}_{1}},{{V}_{1}},{{E}_{1}}</math>
||
:<math>{{{\bar{N}}}_{2}},{{V}_{2}},{{E}_{2}}</math>
|}

:<math>\begin{align}
  & E={{E}_{1}}+{{E}_{2}} \\
 & V={{V}_{1}}+{{V}_{2}} \\
 & \bar{N}={{{\bar{N}}}_{1}}+{{{\bar{N}}}_{2}} \\
\end{align}</math>
Zu zeugen:
:<math>S\overset{!}{\mathop{=}}\,{{S}_{1}}+{{S}_{2}}</math>

:<math>S\tilde{\ }\operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho  \right)=\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}} \right) \right)</math>

statistischer Operator faktorisiert für '''kleine''' Grenzflächen


:<math>\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{1}} \right) \right)+\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{2}} \right) \right)</math>


mit
:<math>\operatorname{Tr}\overset{\wedge}{=}\left\langle  {{n}_{1}} \right|\left\langle  {{n}_{2}} \right|\ldots \left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>


:<math>\begin{align}
  & ={{\operatorname{Tr}}_{1}}\left( {{\rho }_{1}}\ln \left( {{\rho }_{1}} \right) \right)\underbrace{{{\operatorname{Tr}}_{2}}\left( \rho  \right)}_{1}+{{\operatorname{Tr}}_{2}}\left( {{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{2}} \right) \right)\underbrace{\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}} \right)}_{1} \\
 & \Rightarrow S={{S}_{1}}+{{S}_{2}} 
\end{align}</math>

Kleine differnentielle Änderungen:


:<math>\begin{align}
  & dE=d{{E}_{1}}+d{{E}_{2}}=0\to -d{{E}_{1}}=d{{E}_{2}} \\
 & dV=d{{V}_{1}}+d{{V}_{2}}=0\to -d{{V}_{1}}=d{{V}_{2}} \\
 & d\bar{N}=d{{{\bar{N}}}_{1}}+d{{{\bar{N}}}_{2}}=0\to -d{{{\bar{N}}}_{1}}=d{{{\bar{N}}}_{2}} \\
 & \underbrace{dS=d{{S}_{1}}+d{{S}_{2}}=0}_{\begin{smallmatrix}
 Gesamtsytem \\
 abgeschlossen
\end{smallmatrix}}\to -d{{S}_{1}}=d{{S}_{2}} 
\end{align}</math>

"rüberschieben auf andere Seite"

nutze bei dS:

:<math>\begin{align}
  & d{{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}=\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{V}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{V}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}+\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{{\bar{N}}}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}+\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{E}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{E}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}} \\
 & d{{S}_{1}}=-d{{S}_{2}} 
\end{align}</math>



:<math>\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}}d{{V}_{1}}+\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}}d{{{\bar{N}}}_{1}}+\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}}d{{E}_{1}}=-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}}d{{V}_{2}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}}d{{{\bar{N}}}_{2\;}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}}d{{E}_{2}}</math>


mit


:<math>d{{E}_{1}}=-d{{E}_{2}},-d{{{\bar{N}}}_{1}}=d{{{\bar{N}}}_{2}},-d{{V}_{1}}=d{{V}_{2}}</math>



:<math>\begin{align}
  & \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}} \right)d{{E}_{2}}=0 \\
 & \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}} \right)d{{{\bar{N}}}_{2}}=0 \\
 & \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}} \right)d{{V}_{2}}=0 
\end{align}</math>

weil N,V,E unabhängig variiert werden können gilt für alle
:<math>d{{E}_{2}}</math>,<math>d{{{\bar{N}}}_{2}}</math>,
:<math>d{{V}_{2}}</math>

→ folgende Eigenschaften des Systems im Kontakt sind gleich:

:<math>\begin{align}
  & {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}} \right)}_{{{V}_{1}},{{{\bar{N}}}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}} \right)}_{{{V}_{2}},{{{\bar{N}}}_{2}}}} \\
 & {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}} \right)}_{{{V}_{1}},{{E}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}} \right)}_{{{V}_{2}},{{E}_{2}}}} \\
 & {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}} \right)}_{{{E}_{1}},{{{\bar{N}}}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}} \right)}_{{{E}_{2}},{{{\bar{N}}}_{2}}}} 
\end{align}</math>
Eigenschaft Namen geben:

inverse Temperatur: <math>{{T}^{-1}}={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}}=k\beta </math> (war berechnet)


chemisches Potential/ Temperatur:<math>-\frac{\mu }{T}={{\left( \frac{\partial S}{\partial \bar{N}} \right)}_{V,E}}=-k\beta \mu </math> (war berechnet)


:<math>\beta =\frac{1}{kT}</math>
beides muss am Experiment verifiziert werden


Druck durch Temperatr <math>\frac{p}{T}={{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{E,\bar{N}}}=k{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}}</math>

Druck kann auch gemessen werden

===Nullter Hauptsatz der Thermodynamik===
Es existiert eine skalare Größe T (Temperatur) zur Charaktersierung eines Systems; bei Kontakt (und langem Warten) sind die Temperaturen zweier Systeme gleich. anlog Potential, Druck

==Optische Absorption eines Zweinivieausystems==
===Dichtematrixdynamik und Zustandsgleichung===
Dichtematrixdynamik für 2Niveausystem: 1 Teilchen =
:<math>{\bar{N}}</math>
Besetzungszahldarstellung



===Thermische Zustandsgleichung===