Editing Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 29: | Line 29: | ||
Typische Beispiele sind kurzreichweitige Potenziale wie die Dipol- Dipol- Wechselwirkung <math>\left| V(\bar{r}) \right|\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{6}}}</math>oder der rechteckige Potenzialtopf. | Typische Beispiele sind kurzreichweitige Potenziale wie die Dipol- Dipol- Wechselwirkung <math>\left| V(\bar{r}) \right|\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{6}}}</math>oder der rechteckige Potenzialtopf. | ||
Bei sehr flachen Potenzialen (sehr flaches Vmin) existiert möglicherweise gar kein Zustand im Potenzialtopf (gar kein Eigenwert existiert). | Bei sehr flachen Potenzialen ( sehr flaches Vmin) existiert möglicherweise gar kein Zustand im Potenzialtopf ( gar kein Eigenwert existiert). | ||
In eindimensionalen Potenzialen allerdings existiert stets ein Eigenwert E<0. | In eindimensionalen Potenzialen allerdings existiert stets ein Eigenwert E<0. | ||
Langreichweitige, langsam abfallende Potenziale können unendlich viele E<0 mit einem Häufungspunkt bei E=0 haben (Wasserstoffatom). Dies trifft vor allem für das 1/r- Potenzial zu! | Langreichweitige, langsam abfallende Potenziale können unendlich viele E<0 mit einem Häufungspunkt bei E=0 haben ( Wasserstoffatom). Dies trifft vor allem für das 1/r- Potenzial zu ! | ||
=====Eigenzustände zu E<0===== | =====Eigenzustände zu E<0===== | ||
Line 40: | Line 40: | ||
\lim \\ | \lim \\ | ||
\bar{r}->\infty \\ | \bar{r}->\infty \\ | ||
\end{matrix}\phi (\bar{r})\to 0</math> hinreichend rasch!. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist damit im Endlichen lokalisiert. Das bedeutet: Die Zustände sind gebunden. | \end{matrix}\phi (\bar{r})\to 0</math> hinreichend rasch !. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist damit im Endlichen lokalisiert. Das bedeutet: Die Zustände sind gebunden . | ||
Es existieren also gebundene Zustände im Bereich E<0 (vergleiche: elliptische Bahnen bei 1/r- Potenzialen für E<0) | Es existieren also gebundene Zustände im Bereich E<0 ( vergleiche: elliptische Bahnen bei 1/r- Potenzialen für E<0) | ||
Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in Bereichen mit E<V(r) von Null verschieden: | Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in Bereichen mit E<V(r ) von Null verschieden: | ||
Klassisch: <math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(\bar{r})=E</math> | Klassisch: <math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(\bar{r})=E</math> | ||
Grund dafür ist die Unschärferelation: <math>\Delta p\Delta x\ge \frac{\hbar }{2}</math> | Grund dafür ist die Unschärferelation: <math>\Delta p\Delta x\ge \frac{\hbar }{2}</math> | ||
Für ebene Wellen als Lösung der Schrödingergleichung der Form <math>{{e}^{ikx}}</math> | Für ebene Wellen als Lösung der Schrödingergleichung der Form <math>{{e}^{ikx}}</math> | ||
gilt dann wegen <math>k\tilde{\ }\sqrt{E-V\ }\in \operatorname{Im}</math>, falls E < V | gilt dann wegen <math>k\tilde{\ }\sqrt{E-V\ }\in \operatorname{Im}</math>, falls E < V | ||
somit <math>{{e}^{ikx}}={{e}^{-\operatorname{Re}}}</math> → exponentiell gedämpftes Eindringen in die Barriere! | somit <math>{{e}^{ikx}}={{e}^{-\operatorname{Re}}}</math> → exponentiell gedämpftes Eindringen in die Barriere ! | ||
=====E>0===== | =====E>0===== | ||
Hier ist das Energiespektrum grundsätzlich kontinuierlich. Die Eigenfunktionen sind dabei nicht normierbar: | Hier ist das Energiespektrum grundsätzlich kontinuierlich. Die Eigenfunktionen sind dabei nicht normierbar: | ||
Line 57: | Line 57: | ||
Beispiel: Ebene Welle <math>\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>ist Lösung von | Beispiel: Ebene Welle <math>\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>ist Lösung von | ||
:<math>-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>mit <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0</math> | :<math>-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>mit <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0</math> | ||
:<math>k\in R\Rightarrow {{e}^{ikr}}</math> ist oszillierend! | :<math>k\in R\Rightarrow {{e}^{ikr}}</math> ist oszillierend ! | ||
:<math>\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> ist also Lösung der Schrödingergleichung mit V=0 | :<math>\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> ist also Lösung der Schrödingergleichung mit V=0 | ||
Es gibt keine Einschränkungen an <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0</math>. Die Energie ist gleich der kinetischen Energie! Falls V=0 | Es gibt keine Einschränkungen an <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0</math>. Die Energie ist gleich der kinetischen Energie ! Falls V=0 | ||
Das Teilchen ist ganz klar nicht im Endlichen lokalisiert. | Das Teilchen ist ganz klar nicht im Endlichen lokalisiert. | ||
Man spricht auch von einem stationären Streuzustand. | Man spricht auch von einem stationären Streuzustand. | ||
Beispiel: Elektronen in Metallen → Elektronengas! | Beispiel: Elektronen in Metallen → Elektronengas ! | ||
Nebenbemerkung: Wellenpakete und damit auch Photonen sind KEINE stationären Zustände (= Energie- Eigenzustände). Die unendliche Delokalisation stellt sich also als Problem hier noch gar nicht an Photonen oder Wellenpakete im Allgemeinen. (für " Energieeigenzustände") | Nebenbemerkung: Wellenpakete und damit auch Photonen sind KEINE stationären Zustände (= Energie- Eigenzustände). Die unendliche Delokalisation stellt sich also als Problem hier noch gar nicht an Photonen oder Wellenpakete im Allgemeinen. ( für " Energieeigenzustände") | ||
<u>'''Bemerkungen'''</u> | <u>'''Bemerkungen'''</u> | ||
Line 85: | Line 85: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
mit <math>E={{E}^{(1)}}+{{E}^{(2)}}+{{E}^{(3)}}</math> | mit <math>E={{E}^{(1)}}+{{E}^{(2)}}+{{E}^{(3)}}</math> | ||
Insbesondere (Beispiel): <math>{{V}_{2}}+{{V}_{3}}=0</math>→ freie Bewegung in x2 und x3- Richtung | Insbesondere ( Beispiel): <math>{{V}_{2}}+{{V}_{3}}=0</math>→ freie Bewegung in x2 und x3- Richtung | ||
:<math>\phi (\bar{r})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{e}^{i{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}{{e}^{i{{k}_{3}}{{x}_{3}}}}</math> | :<math>\phi (\bar{r})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{e}^{i{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}{{e}^{i{{k}_{3}}{{x}_{3}}}}</math> | ||
:<math>E={{E}^{(1)}}+\frac{{{k}_{2}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}+\frac{{{k}_{3}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math> | :<math>E={{E}^{(1)}}+\frac{{{k}_{2}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}+\frac{{{k}_{3}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math> | ||
<u>'''Beispiel: Quantentopf in Halbleitern (Quantum Well)'''</u> | <u>'''Beispiel: Quantentopf in Halbleitern ( Quantum Well)'''</u> | ||
Halbleiterschichtstruktur: | Halbleiterschichtstruktur: | ||