Editing Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|6}}</noinclude>
<math>\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\bar{r}) \right]\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>

die zeitunabhängige Schrödingergleichung mit dem skalaren Potenzial V

Annahme: <math>V(\bar{r})\to 0</math>für<math>\left| {\bar{r}} \right|\to \infty </math>

außerdem soll das Potenzial stückweise stetig sein und nach unten beschränkt.

'''Dann gilt:'''

# '''E<0'''
Prinzipiell sind nur diskrete Eigenwerte E>Vmin möglich.

Dies ist ein klarer Widerspruch zur klassischen Mechanik, nach der alle Zustände mit <math>E\ge {{V}_{\min }}</math>möglich sind.

Die Anzahl der Eigenwerte und ihr Abstand hängt jedoch von der Form von V ab.

Wenn  <math>\begin{matrix}

\lim   \\

r\to \infty   \\

\end{matrix}\left| V(\bar{r}) \right|\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2+\delta }}}</math>mit  <math>\delta >0</math>. Das Potenzial muss also nur für r gegen unendlich dieses Verhalten zeigen. Dann existieren nur ENDLICH viele diskrete Werte.

Also: es gibt genau dann endlich viele Zustände im Potenzial, wenn das Potenzial schneller verschwindet als 1/r².

Typische Beispiele sind kurzreichweitige Potenziale wie die Dipol- Dipol- Wechselwirkung <math>\left| V(\bar{r}) \right|\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{6}}}</math>oder der rechteckige Potenzialtopf.

Bei sehr flachen Potenzialen ( sehr flaches Vmin) existiert möglicherweise gar kein Zustand im Potenzialtopf ( gar kein Eigenwert existiert).

In eindimensionalen Potenzialen allerdings existiert stets ein Eigenwert E<0.

Langreichweitige, langsam abfallende Potenziale können unendlich viele E<0 mit einem Häufungspunkt bei E=0 haben ( Wasserstoffatom). Dies trifft vor allem für das 1/r- Potenzial zu !

=====Eigenzustände zu E<0=====
Sind in jedem Fall Normierbar: <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\left| \phi (\bar{r}) \right|}^{2}}=1</math>
<math>\begin{matrix}
\lim   \\
\bar{r}->\infty   \\
\end{matrix}\phi (\bar{r})\to 0</math> hinreichend rasch !. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist damit im Endlichen lokalisiert. Das bedeutet: Die Zustände sind gebunden .
Es existieren also gebundene Zustände im Bereich E<0 ( vergleiche: elliptische Bahnen bei 1/r- Potenzialen für E<0)

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in Bereichen mit E<V(r ) von Null verschieden:
Klassisch: <math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(\bar{r})=E</math>
Grund dafür ist die Unschärferelation: <math>\Delta p\Delta x\ge \frac{\hbar }{2}</math>
Für ebene Wellen als Lösung der Schrödingergleichung der Form <math>{{e}^{ikx}}</math>
gilt dann wegen <math>k\tilde{\ }\sqrt{E-V\ }\in \operatorname{Im}</math>, falls  E < V
somit <math>{{e}^{ikx}}={{e}^{-\operatorname{Re}}}</math> -> exponentiell gedämpftes Eindringen in die Barriere !
=====E>0=====
Hier ist das Energiespektrum grundsätzlich kontinuierlich. Die Eigenfunktionen sind dabei nicht normierbar:
<math>\begin{matrix}
\lim   \\
\bar{r}->\infty   \\
\end{matrix}\phi (\bar{r})\to const</math>oder oszilliert.
Beispiel: Ebene Welle <math>\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>ist Lösung von
<math>-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>mit <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0</math>
<math>k\in R\Rightarrow {{e}^{ikr}}</math> ist oszillierend !
<math>\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> ist also Lösung der Schrödingergleichung mit V=0
Es gibt keine Einschränkungen an <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0</math>. Die Energie ist gleich der kinetischen Energie ! Falls V=0
Das Teilchen ist ganz klar nicht im Endlichen lokalisiert.
Man spricht auch von einem stationären Streuzustand.
Beispiel: Elektronen in Metallen -> Elektronengas !
Nebenbemerkung: Wellenpakete und damit auch Photonen sind KEINE stationären Zustände (= Energie- Eigenzustände). Die unendliche Delokalisation stellt sich also als Problem hier noch gar nicht an Photonen oder Wellenpakete im Allgemeinen. ( für " Energieeigenzustände")
<u>'''Bemerkungen'''</u>

# Die Klassifizierung E<0 und E>0 gilt auch dann noch, wenn <math>V(\bar{r})</math>Punktsingularitäten hat, also auch beim <math>V(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{r}</math>bei r=0 oder beim Delta- Potenzial
# In Bereichen mit <math>V(\bar{r})\to \infty </math>gilt grundsätzlich <math>\phi =0</math>. Auch quantenmechanisch kann hier das Teilchen nicht eindringen. Insbesondere folgt als Randbedingung an einer unendlich hohen Potenzialschwelle:
<math>\phi {{\left. {} \right|}_{Rand}}=0</math>
# Qualitativ verschieden ist das Verhalten bei periodischen Potenzialen <math>V(\bar{r})</math>.Dies beobachtet man beispielsweise bei Elektronen in Kristallen. So entstehen beispielsweise Energiebänder.

====Eindimensionale stationäre Zustände====

In Spezialfällen lassen sich Probleme separieren/reduzieren:
<math>V(\bar{r})={{V}_{1}}({{x}_{1}})+{{V}_{2}}({{x}_{2}})+{{V}_{3}}({{x}_{3}})</math>
Separation in kartesischen Koordinaten:
<math>\phi (\bar{r})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})</math>

Die Schrödingergleichung lautet:

<math>\begin{align}
& \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}_{i}}^{2}}+{{V}_{i}}({{x}_{i}}) \right]{{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})=E{{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}}) \\
& \Rightarrow \frac{\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\phi }_{i}}\acute{\ }\acute{\ }({{x}_{i}})+{{V}_{i}}({{x}_{i}}){{\phi }_{i}}({{x}_{i}})}{{{\phi }_{i}}({{x}_{i}})}={{E}^{(i)}} \\
\end{align}</math>
mit <math>E={{E}^{(1)}}+{{E}^{(2)}}+{{E}^{(3)}}</math>
Insbesondere ( Beispiel): <math>{{V}_{2}}+{{V}_{3}}=0</math>-> freie Bewegung in x2 und x3- Richtung
<math>\phi (\bar{r})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{e}^{i{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}{{e}^{i{{k}_{3}}{{x}_{3}}}}</math>
<math>E={{E}^{(1)}}+\frac{{{k}_{2}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}+\frac{{{k}_{3}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math>
<u>'''Beispiel: Quantentopf in Halbleitern ( Quantum Well)'''</u>
Halbleiterschichtstruktur:


Durch die Variation des Legierungsverhältnis x und durch die Schichtdicke läßt sich Vo und a maßgeschneidert produzieren und somit auch die Lage und Zahl der Energieniveaus im Halbleiter.
Das effektive Potenzial der Leitungselektronen ist der Quantentopf wie im rechten Diagramm dargestellt.
Beispiel: Für GaAs/ AlGaAs der Form:
<math>GaAs/A{{l}_{0,3}}G{{a}_{0,7}}As</math> erhält man Vo = 250 meV. Bei einer Schichtdicke des GaAs von 10 nm ergeben sich 3 gebundene Zustände im Quantentopf.
Durch die gebundenen Zustände im Quantentopf und die freie Beweglichkeit in x2- und x3- Richtung mit der effektiven Masse <math>m*</math> ergibt sich ein zweidimensionaler Leiter, wenn die Spannung in x2- oder x3- Richtung angelegt wird. Legt man einen Strang durch das Material, so gewinnt man einen eindimensionalen Leiter.
'''Beispiel: Kugelsymmetrisches Potenzial'''
''' Sei '''<math>V(r)</math>kugelsymmetrisch, so bietet sich Separation in Kugelkoordinaten an: <math>r,\vartheta ,\phi </math>:
<math>\Phi (\bar{r})=R(r)+Y(\vartheta ,\phi )</math>
Beispiel: H- Atom mit Coulombpotenzial <math>V=-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>