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Affinier Raum
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Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper :<math>K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right)</math> ist ein Tripel, [A.1] :<math>\left( X,T,\tau \right)</math> wobei X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte) :<math>T:=\left( {{T}_{M}},+:{{T}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}},\centerdot :{{K}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}} \right)</math>sei ein K-Vektorraum :<math>\begin{align} & \tau :{{T}_{M}}\times X\to X \\ & \left( t,x \right)\to t+x \\ \end{align}</math> eine einfach transitive Operation von der Gruppe <math>\left( {{T}_{M}},+ \right)</math>des Vektorraums T auf der Menge X Beispiel: :<math>\begin{matrix} K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right) \\ X:=\text{ K}_{\text{M}}^{\text{n}} \\ T:=\left( K_{M}^{n},+,\centerdot \right) \\ \tau :K_{M}^{n}\times K_{M}^{n}\to K_{M}^{n} \\ \left( t,x \right)\to t+x\text{ hier sei }+=+ \\ \left( \left( \begin{align} & {{t}_{1}} \\ & \vdots \\ & {{t}_{n}} \\ \end{align} \right),\left( \begin{align} & {{x}_{1}} \\ & \vdots \\ & {{x}_{n}} \\ \end{align} \right) \right)\to \left( \begin{align} & {{t}_{1}}+{{x}_{1}} \\ & \quad \vdots \\ & {{t}_{n}}+{{x}_{n}} \\ \end{align} \right) \\ \end{matrix}</math> 1.1.3 Abkürzende Schreibweise In jedem affinen Raum :<math>\left( X,T,\tau \right)</math> existiert zu allen <math>x,y\in X</math>ein eindeutig bestimmtes <math>\overrightarrow{xy}\in {{T}_{M}}</math>für das gilt <math>\overrightarrow{xy}+x=y</math>. Beweis: <math>\tau </math>ist einfach transitiv. Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y. Außerdem ist <math>\overrightarrow{xy}=-\overrightarrow{yx}</math> wobei – in der Gruppe<math>\left( {{T}_{m}},+ \right)</math> des Vektorraums T wie folgt definiert ist: :<math>\begin{align} & -:{{T}_{m}}\times {{T}_{m}}\to {{T}_{m}} \\ & \left( t,{t}' \right)\to t+\left( -{t}' \right) \\ \end{align}</math> Dabei ist <math>\left( -t \right)+t=0\in {{T}_{M}}\forall t\in {{T}_{M}}</math> Beweis: :<math>\begin{align} & \overrightarrow{xy}+x=y\wedge \overrightarrow{yx}+y=x \\ & \Leftrightarrow \overrightarrow{xy}+\left( \overrightarrow{yx}+y \right)=y \\ & \overbrace{\Leftrightarrow }^{\left[ \text{O}\text{.1} \right]}\left( \overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx} \right)+y=y \\ & \overbrace{\Leftrightarrow }^{\left[ \text{O}\text{.2} \right]}\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx}=0\in {{T}_{M}} \\ \end{align}</math> ==Dimension== [A.2] :<math>\left\{ \begin{matrix} -1\text{ falls X=}\varnothing \\ Di{{m}_{k}}T\text{ sonst}\text{.} \\ \end{matrix} \right.</math> Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T. Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1. [[Kategorie:Affine Geometrie]]
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