Editing Addition von Drehimpulsen
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Latest revision | Your text | ||
Line 3: | Line 3: | ||
Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden: | Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden: | ||
<math>\hat{\bar{J}}=\hat{\bar{L}}+\hat{\bar{S}}</math> | |||
Die Vertauschungsrelationen: | Die Vertauschungsrelationen: | ||
<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=0</math> | |||
Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel. | Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel. | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\ | & \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\ | ||
Line 23: | Line 23: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Drehimpuls Vertauschungsrelationen! | Drehimpuls Vertauschungsrelationen ! | ||
<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math> | |||
Ebenso: | Ebenso: | ||
<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math> | |||
Also: | Also: | ||
Line 36: | Line 36: | ||
'''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math> | '''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math> | ||
, | |||
<math>{{\hat{J}}_{3}}</math> | ,<math>{{\hat{J}}_{3}}</math> | ||
, | |||
<math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}}</math> | ,<math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}}</math> | ||
. | . | ||
Dies muss möglich sein, da | Dies muss möglich sein, da | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\ | & \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\ | ||
Line 59: | Line 59: | ||
Die Eigenwertgleichungen lauten: | Die Eigenwertgleichungen lauten: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{J}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ | & {{{\hat{J}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ | ||
Line 77: | Line 77: | ||
entwickelt werden: | entwickelt werden: | ||
<math>\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix} | |||
m \\ | m \\ | ||
Line 83: | Line 83: | ||
{{m}_{S}}={{m}_{j}}-m | {{m}_{S}}={{m}_{j}}-m | ||
\end{smallmatrix}}{{}}\left| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} | \end{smallmatrix}}{{}}\left| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} \right|\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> | ||
Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)! | Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) ! | ||
Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis | Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis | ||
{{FB|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}}! | {{FB|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} ! | ||
<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \right|\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> | |||
Dabei gilt: | Dabei gilt: | ||
{| class="wikitable" border="1" | {| class="wikitable" border="1" | ||
|-! | |- | ||
<math>s=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math> | !<math>s=\frac{1}{2}</math> !!<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math> | ||
|- | |- | ||
|<math>j=l+\frac{1}{2}</math>||<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>||<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> | |<math>j=l+\frac{1}{2}</math>||<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>||<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> | ||
Line 106: | Line 106: | ||
Wobei: | Wobei: | ||
<math>\begin{align} | |||
& j=l\pm \frac{1}{2} \\ | & j=l\pm \frac{1}{2} \\ |