Editing Addition von Drehimpulsen
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Latest revision | Your text | ||
Line 3: | Line 3: | ||
Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden: | Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden: | ||
<math>\hat{\bar{J}}=\hat{\bar{L}}+\hat{\bar{S}}</math> | |||
Die Vertauschungsrelationen: | Die Vertauschungsrelationen: | ||
<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=0</math> | |||
Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel. | Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel. | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\ | & \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\ | ||
Line 25: | Line 25: | ||
Drehimpuls Vertauschungsrelationen! | Drehimpuls Vertauschungsrelationen! | ||
<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math> | |||
Ebenso: | Ebenso: | ||
<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math> | |||
Also: | Also: | ||
Line 45: | Line 45: | ||
Dies muss möglich sein, da | Dies muss möglich sein, da | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\ | & \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\ | ||
Line 59: | Line 59: | ||
Die Eigenwertgleichungen lauten: | Die Eigenwertgleichungen lauten: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{J}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ | & {{{\hat{J}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ | ||
Line 77: | Line 77: | ||
entwickelt werden: | entwickelt werden: | ||
<math>\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix} | |||
m \\ | m \\ | ||
Line 91: | Line 91: | ||
{{FB|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}}! | {{FB|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}}! | ||
<math>\left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> | |||
Dabei gilt: | Dabei gilt: | ||
Line 106: | Line 106: | ||
Wobei: | Wobei: | ||
<math>\begin{align} | |||
& j=l\pm \frac{1}{2} \\ | & j=l\pm \frac{1}{2} \\ |