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<noinclude>{{ScriptProf|Prof=Prof. Dr. H.-H. von Borzeszkowski|Thema=ART|Kapitel=alle}} </noinclude> Einleitung Die leitenden Gedanken der Allgemeinen RelativitĂ€tstheorie Methodische Vorbemerkung zur Art der folgenden Darstellung Man muss ĂŒber Probleme der Newtonschen Meachanik und der SRT Sprechen Ausgangspunkt: Beschreibung der Bewegung Man muss ĂŒber zulĂ€ssige Koorinatensysteme und ĂŒber Zeit reden C. Neumann & L Lange zur Bestimmung von Intertialsystemen in der Newtonschen Mechanik M. v. Laue zur Bestimmung von Inertialsystemen in der Speziellen RelatitĂ€tstheorie SRT (RelativitĂ€tsprinzip) und Newtonsche Gravitationstheorie (<math>\Delta \varphi =4\pi G\rho </math>,<math>{{m}_{T}}\frac{{{d}^{2}}{{x}^{i}}}{d{{t}^{2}}}={{K}^{i}}\,\,\left( i=1,2,3 \right)</math>, <math>{{K}^{i}}=-{{m}_{p}}{{\partial }_{i}}\varphi </math>,<math>{{m}_{T}}={{m}_{P}}</math>) Einstein (1907): âDer glĂŒcklichste Gedanke meines Lebensâ Das Ăquivalenzprinzio ist der RelativitĂ€tstheorie zugrunde zu legen. Verallgemeinerung der SRT zur ART Ăbersicht und Literatur (ausgelassen) Der Ăbergang von der Speziellen zur Allgemeinen RelativitĂ€tstheorie Newtonsche Mechanik und Galilei-Invarianz etc. Zeit Transformationen (Translationen) :<math>\begin{align} & t'=t+\tau \,,\,\tau =\text{const} \\ & dt'=dt \\ \end{align}</math>Invarianz des ZeitmaĂes und der Bewegungsgleichungen Raum Transformationen (Translationen und Rotationen) Kovarianz der Bewegungsgleichung :<math>x{{'}^{i}}=\alpha _{k}^{i}{{x}^{k}}+{{a}^{i}}</math> mit <math>{{x}^{i}},x{{'}^{i}}</math>in kartesischen Koordinaten, <math>{{a}^{i}}=\text{const}\text{,}\,\,\alpha _{i}^{k}=\text{const}</math>und der Beziehung <math>\alpha _{k}^{i}\left( {{\alpha }^{T}} \right)_{j}^{k}=\delta _{j}^{i}</math>. Invarianz des RaummaĂes :<math>d{{\sigma }^{2}}={{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}={{\left( dx{{'}^{1}} \right)}^{2}}+{{\left( dx{{'}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( dx{{'}^{3}} \right)}^{2}}=d\sigma {{'}^{2}}</math> Spezielle Galilei Transformation Invarianz der Bewegungsgleichung :<math>x{{'}^{i}}={{x}^{i}}+{{v}^{i}}t</math> mit <math>{{v}^{i}}=\text{const}</math> Keine Kovarianz des RaummaĂes (<math>d\sigma '\ne d\sigma </math>) Insgesamt: Kovarianz der Bewegungsgleichungen bezĂŒglich der allgemeinen Galilei Gruppe: :<math>\begin{align} & t'=t+\tau \\ & x{{'}^{i}}=\alpha _{i}^{k}{{x}^{k}}+{{a}^{i}}+{{v}^{i}}t \\ \end{align}</math> Formal lĂ€sst sich das 4-Dimensional formulieren dies ist aber physikalisch ohne Bedeutung, da das keine irreduzibele 4-Dimensionale Gruppe ist): :<math>\left( \begin{align} & t' \\ & x{{'}^{i}} \\ \end{align} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ {{v}^{i}} & \alpha _{k}^{i} \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{align} & \tau \\ & {{a}^{i}} \\ \end{align} \right)</math> 10-parametriege Gruppe Allgemeine bzw. andere Transformationen Ă€ndern die Form der Bewegungsgleichungen: Beispiel Rotierendes Bezugssystem (<math>\omega =\text{const}</math>): :<math>\begin{align} & {{x}^{1}}=x{{'}^{1}}\cos \omega t-x{{'}^{2}}\sin \omega t \\ & {{x}^{2}}=x{{'}^{1}}\sin \omega t-x{{'}^{2}}\cos \omega t \\ \end{align}</math> :<math>\begin{align} & m\frac{{{d}^{2}}{{x}^{1}}}{d{{t}^{2}}}\Rightarrow m\left( \frac{{{d}^{2}}x{{'}^{1}}}{d{{t}^{2}}}-\frac{\partial \phi }{\partial x{{'}^{1}}}+... \right) \\ & m\frac{{{d}^{2}}{{x}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\Rightarrow m\left( \frac{{{d}^{2}}x{{'}^{2}}}{d{{t}^{2}}}-\frac{\partial \phi }{\partial x{{'}^{2}}}+... \right) \\ \end{align}</math> mit <math>\phi :=-\frac{\omega }{2}\left[ {{\left( x{{'}^{1}} \right)}^{2}}+{{\left( x{{'}^{2}} \right)}^{2}} \right]</math> (AusfĂŒhrlicher in § 9) Systematische und historische Bemerkungen zum VerhĂ€ltnis von Galilei-Invarianz und Elektrodynamik: Bedeutung des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit ist unabhĂ€ngig von der Bewegung der Lichtquelle Konstanz der Lichtgeschwindigkeit RelativitĂ€tsprinzip ïš <math>\Delta r=c\Delta t</math>gilt in allen Inertialsystemen :<math>\begin{align} & \Delta r=c\Delta t\to {{\left( \Delta r \right)}^{2}}={{c}^{2}}{{\left( \Delta t \right)}^{2}} \\ & \to {{\left( \Delta {{x}^{1}} \right)}^{2}}+{{\left( \Delta {{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \Delta {{x}^{3}} \right)}^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}} \\ & \to \Delta {{s}^{2}}:={{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-{{\left( \Delta {{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( \Delta {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \Delta {{x}^{3}} \right)}^{2}} \\ & \to d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}=0 \\ \end{align}</math> :<math>d{{s}^{2}}=ds{{'}^{2}}</math> (1.1) Minkowski-Raum: 4-Dimeionale pseudo-euklidische Metrik (in Inertialkoordinaten) bzw. pseudo-Karth. Koordinaten) <math>{{\eta }_{\mu \nu }}=diag\left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ \end{matrix} \right)</math>. (spĂ€ter siehe §4) Linienelement in Inertialkoordianten (<math>{{x}^{0}}:=ct</math>) :<math>\begin{align} & d{{s}^{2}}=cd{{t}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}} \\ & ={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}} \\ & ={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\nu }}d{{x}^{\mu }} \end{align}</math> <math>d{{s}^{2}}\overset{!}{\mathop{=}}\,ds{{'}^{2}}</math> ï Bestimmung der Inertialsysteme bzw. der sie verbinden Transformationenen (Lorentz-Transformation) Ansatz Ansatz: <math>x{{'}^{\alpha }}=\Lambda _{\gamma }^{\alpha }{{x}^{\gamma }}+{{a}^{\alpha }}</math>mit :<math>\begin{align} & ds'={{\eta }_{\alpha \beta }}dx{{'}^{\alpha }}dx{{'}^{\beta }}={{\eta }_{\alpha \beta }}\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }} \\ & =d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }} \end{align}</math> ï <math>{{\eta }_{\alpha \beta }}\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }={{\eta }_{\mu \nu }}</math> Also: Allgemeine Lorentz-Transformation (PoincarĂ©-Transformation) :<math>x{{'}^{\alpha }}=\Lambda _{\beta }^{\alpha }{{x}^{\beta }}+{{a}^{\alpha }}</math> mit Spezialfall der rĂ€umlichen Rotation: :<math>x{{'}^{\alpha }}=\Lambda _{\beta }^{\alpha }{{x}^{\beta }}</math> mit <math>\Lambda _{k}^{i}=d_{k}^{i},\Lambda _{0}^{0}=1,\Lambda _{0}^{i}=\Lambda _{i}^{0}=0</math> Spezielle Lorentz-Transformation :<math>\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}}</math>Lorentz-Transformation ohne rĂ€umliche Rotation und ohne Translation :<math>\Lambda _{0}^{0}=\gamma ,\Lambda _{k}^{i}=\delta _{k}^{i}+\left( \gamma -1 \right)\frac{{{v}^{i}}{{v}^{j}}}{{{v}^{2}}},\Lambda _{0}^{i}=\Lambda _{i}^{0}=\gamma \frac{{{v}^{j}}}{c}</math> Spezielle LT in x1-Richtung Eigentliche Lorentz Transformation (schlieĂt rĂ€umliche und zeitliche Speigelungen aus): :<math>\det \Lambda =1</math> (10 parametrige Gruppe) Tensoren im Minkowski- Raum Minkowski-Raum: 4 dimensionaler pseudo euklidischer Raum 3-dim euklid. Raum: Ist durch pythagoreische MaĂbestimmungen definiert :<math>d{{\sigma }^{2}}={{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}={{\delta }_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}</math> mit Metrik <math>{{\delta }_{ik}}</math> 4-dim euklid. Raum :<math>d{{s}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}={{\delta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math> mit Metrik <math>{{\delta }_{ik}}</math> 4-dim pseudo-euklid. Raum :<math>d{{s}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math> mit Metrik <math>{{\eta }_{\mu \nu }}=diag\left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ \end{matrix} \right)</math> Lorentz Transformation wurde grade so bestimmt (s §3), daĂ <math>d{{s}^{2}}</math>und <math>{{\eta }_{\mu \nu }}</math>invariant sind Es gibt 3 Arten von AbstĂ€nden: Zeitartig ( <math>d{{s}^{2}}>0</math> ) Lichtartig( <math>d{{s}^{2}}=0</math> ) Spannen den Lichtkegel auf raumartig( <math>d{{s}^{2}}<0</math> ) Tensoren (durch Transformationsgesetz definiert) Kontravarianter Vektor <math>{{v}^{\beta }}</math>:<math>v{{'}^{\beta }}=\Lambda _{\alpha }^{\beta }{{v}^{\alpha }}</math> Kovarianter Vektor :<math>{{v}_{\beta }}={{\eta }_{\beta \alpha }}{{v}^{\alpha }}</math> Heben und Senken von Indices :<math>{{v}^{\beta }}={{\eta }^{\beta \alpha }}{{v}_{\alpha }}</math> mit <math>{{\eta }^{\alpha \sigma }}{{\eta }_{\sigma \beta }}=\delta _{\beta }^{\alpha }</math> Also <math>v{{'}_{\beta }}={{\eta }_{\beta \alpha }}v{{'}^{\alpha }}={{\eta }_{\beta \alpha }}\Lambda _{\sigma }^{\beta }{{v}^{\sigma }}=\underbrace{{{\eta }_{\beta \alpha }}\Lambda _{\sigma }^{\beta }{{\eta }^{\sigma \delta }}}_{\bar{\Lambda }_{\delta }^{\beta }}{{v}_{\delta }}=\bar{\Lambda }_{\delta }^{\beta }{{v}^{\delta }}</math> Allgemein <math>T{{'}^{\alpha ...\beta }}_{\mu ...\nu }=\Lambda _{\rho }^{\alpha }...\Lambda _{\sigma }^{\beta }\bar{\Lambda }_{?}^{?}...\bar{\Lambda }_{?}^{?}{{T}^{\rho ...\sigma }}_{\mu ...\nu }</math> Die partielle Ableitung ist eine tensorielle Operation: Sie fĂŒhrt ein Tensorfeld N-ter Stufe in ein Tensorfeld (n+1)-ter Stufe ĂŒber Beispiel :<math>\frac{\partial T}{\partial {{x}^{\alpha }}}={{\partial }_{\alpha }}T={{T}_{,\alpha }}</math> :<math>\left( \frac{\partial {{v}^{\beta }}}{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)'={{v}^{\beta }}_{,\alpha }'=\frac{\partial v{{'}^{\beta }}}{\partial x{{'}^{\alpha }}}=\frac{\partial }{\partial x{{'}^{\alpha }}}\left( \Lambda _{\sigma }^{\beta }{{v}^{\sigma }} \right)=\Lambda _{\sigma }^{\beta }\frac{\partial {{v}^{\sigma }}}{\partial x{{'}^{\alpha }}}=\Lambda _{\sigma }^{\beta }\frac{\partial {{v}^{\sigma }}}{\partial {{x}^{\rho }}}\frac{\partial {{x}^{\rho }}}{\partial x{{'}^{\alpha }}}=\Lambda _{\sigma }^{\beta }\bar{\Lambda }_{\alpha }^{\rho }\frac{\partial {{v}^{\sigma }}}{\partial {{x}^{\rho }}}</math> Also <math>{{\partial }_{a}}</math>ist kovariant und <math>{{\partial }^{\alpha }}={{\eta }^{\alpha \beta }}{{\partial }_{\beta }}</math>ist kontravariant :<math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}=\square :={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> Relativistische Mechanik 1 . Newton`sche Axiom :<math>m'\frac{d{{x}^{i}}}{dt}=\text{const}</math>fĂŒr KrĂ€ftefreie Bewegungï <math>m\frac{d{{x}^{i}}}{d\tau }=\text{const}</math> :<math>m'</math>ï Lorentz Skalar m :<math>d{{x}^{i}}</math>ï Lorentzvektor <math>d{{x}^{\mu }}</math> :<math>dt</math>ï Lorentz Skalar<math>d\tau :=\frac{1}{{{c}^{2}}}ds=dt\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}</math> Vierergeschwindigkeit <math>{{u}^{\mu }}:=\frac{d{{x}^{\mu }}}{d\tau }=\gamma \left( \begin{matrix} c & {{v}^{1}} & {{v}^{2}} & {{v}^{3}} \\ \end{matrix} \right)</math> es gilt <math>{{u}^{\mu }}{{u}_{\mu }}={{c}^{2}}</math> Viererimpuls <math>{{p}^{\mu }}=m\frac{d{{x}^{\mu }}}{d\tau }=\gamma m\left( \begin{matrix} c & {{v}^{1}} & {{v}^{2}} & {{v}^{3}} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{E}{c} & {{p}^{i}} \\ \end{matrix} \right)</math> es gilt <math>{{p}^{\mu }}{{p}_{\mu }}={{m}^{2}}{{c}^{2}}</math> Mit Ruhemasse m und trĂ€ger Masse :<math>\frac{m}{\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}}</math> Das erste Axiom besagt in seiner 4-dimensionalen Fassung die Erhaltung von Energie und Impuls :<math>E=\gamma m{{c}^{2}}=\text{const},\,\,{{p}^{i}}=\gamma m{{v}^{i}}=\text{const}</math> <math>{{p}_{\mu }}{{p}^{\mu }}={{m}^{2}}{{c}^{2}}</math>lautet ausgeschrieben <math>{{E}^{2}}={{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{p}^{2}}</math> mit <math>{{p}^{2}}={{p}_{i}}{{p}^{i}}</math> FĂŒr kleine Geschwindigkeiten gilt <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{p}^{2}}}\approx m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{v}^{2}}</math> Allgemein <math>{{E}_{0}}:=m{{c}^{2}}</math><math>E={{E}_{0}}+{{E}_{1}}=\text{const}</math>also gilt der Zusammenhang <math>\Delta m\to \Delta {{E}_{0}}\to \Delta {{E}_{1}}</math>(Ăquivalenz von Masse und Energie) 2. Newton`sche Axiom Die 0-Komponente ist bis auf einen Faktor von der Dimension einer Leistung bestimmt. Im nichtrelativistischen Grenzfall lautet die 0-Komponente der Bewegugnsgleichung :<math>{{d}_{t}}E={{K}^{i}}{{v}_{i}}</math> 3. Newton`sche Axiom Hat keine direkte relativistische Entsprechung# Elektordynamik (im Leeren Raum) Maxwellsche Gleichungen EINFĂGEN :<math>\Rightarrow {{\partial }_{t}}\rho +\nabla .j=0</math> Bewegungsgleichungen :<math>{{d}_{t}}\mathbf{p}=q\left( \mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B} \right)</math> (Lorentzkraft) (1.2) 4- Stromvektor <math>{{j}^{\mu }}=\left( c{{\rho }_{e}},{{j}^{i}} \right)</math> (KontinuitĂ€tsgleichung <math>{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}=0</math> 4- FeldstromstĂ€rke sei :<math>{{F}^{\mu \nu }}=\left( \begin{matrix} 0 & -{{E}_{1}} & -{{E}_{2}} & -{{E}_{3}} \\ {{E}_{1}} & 0 & -{{B}_{3}} & {{B}_{2}} \\ {{E}_{2}} & {{B}_{3}} & 0 & -{{B}_{1}} \\ {{E}_{3}} & -{{B}_{2}} & {{B}_{1}} & 0 \\ \end{matrix} \right)</math> Lorentzinvarianz Inhomogene Maxwellgleichungen nun <math>{{\partial }_{\alpha }}{{F}^{\alpha \beta }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\beta }}</math> Homogene Maxwellgleichungen <math>{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{b}}{{F}_{\mu \nu }}=0</math> Lösung der homogenen MWG mit Vektorpotential <math>A=\left( \phi ,{{A}^{i}} \right)</math> Dann ist <math>{{F}^{\alpha \beta }}={{\partial }^{\alpha }}{{A}^{\beta }}-{{\partial }^{\beta }}{{A}^{\alpha }}</math>+ homogene MWG und <math>{{\partial }_{\alpha }}{{A}^{\alpha }}=0</math>ïš<math>\square {{A}^{\mu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\mu }}</math> Also <math>\square {{A}^{\mu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\mu }}</math>,<math>{{\partial }_{\alpha }}{{A}^{\alpha }}=0</math> Aus der Lorentzkraft wird <math>m{{d}_{\tau }}{{u}^{\mu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\alpha \beta }}{{u}_{\beta }}</math> Der Energie Impuls Tensor lautet <math>{{T}^{\alpha \beta }}=\frac{1}{4\pi }\left( {{F}^{\alpha }}_{\sigma }{{F}^{\sigma \beta }}-\frac{1}{4}{{\eta }^{\alpha \beta }}{{F}_{\mu \nu }}{{F}^{\mu \nu }} \right)</math> Relativistische Hydrodynamik Ideale FlĂŒssigkeit: Charakterisiert durch Dicht <math>\rho \left( {{x}^{j}},t \right)</math>, Gewindigkeitsfeld <math>{{v}^{i}}\left( {{x}^{j}},t \right)</math>, isptrpĂŒes Druckfeld <math>P\left( {{x}^{j}},t \right)</math> also 5 Feldfunktionen Bewegungsgleichungen in der nichtrelativistschen Fassung 3 Euler Gleichungen ĂBERSPRUNGEN Beschleunigte Bezugssystem im Minkowski-Raum Newtonsche Mechanik Inertialsystem <math>\left( \mathbf{x},t \right)</math> :<math>m{{d}_{t}}^{2}\mathbf{x}=0</math> (fĂŒr freies Teilchen) Nicht-Inertialsystem<math>\left( \mathbf{x}',t'=t \right)</math> Beispiel: Rotierendes Bezussystem (<math>\vec{\omega }</math>=Winkelgeschwindigkeit) :<math>m{{d}_{t}}^{2}\mathbf{x}'=\underbrace{-2m\omega \times \mathbf{v}'}_{Coriolis}-\underbrace{m\omega \times (\omega \times \mathbf{r}')}_{Zentrifugal}-\underbrace{m\frac{d\omega }{dt}\times \mathbf{r}'}_{Eulerkraft}</math> Spezielle RelativitĂ€tstheorie Inertialsystem <math>\left( {{x}^{i}},t \right)</math> Linienelement <math>d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math> Bewegungsgleichung (eines freien Teilchens der Messe m): Ăbergang zu einem Nicht-Inertialsystem <math>\left( x{{'}^{i}},t \right)</math> Linienelement <math>\begin{align} & d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}\partial {{'}_{\beta }}{{x}^{\nu }}dx{{'}^{\alpha }}dx{{'}^{\beta }} \\ & =g{{'}_{\mu }}_{\nu }dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }} \end{align}</math> Beispiel: :<math>\begin{align} & {{x}^{0}}=x{{'}^{0}}\Rightarrow t=t' \\ & {{x}^{1}}=x{{'}^{1}}\sin \omega t-x{{'}^{2}}\cos \omega t \\ & {{x}^{2}}=x{{'}^{1}}\sin \omega t+x{{'}^{2}}\cos \omega t \\ & {{x}^{3}}=x{{'}^{3}} \\ \end{align}</math> Mit <math>\begin{align} & d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}\partial {{'}_{\beta }}{{x}^{\nu }}dx{{'}^{\alpha }}dx{{'}^{\beta }} \\ & =\left[ {{c}^{2}}-{{\omega }^{2}}\left( {{\left( x{{'}^{1}} \right)}^{2}}+{{\left( x{{'}^{2}} \right)}^{2}} \right) \right]dt{{'}^{2}}+2\omega x{{'}^{2}}dx{{'}^{1}}dt'-2\omega x{{'}^{1}}dx{{'}^{2}}dt'-{{\left( dx{{'}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( dx{{'}^{3}} \right)}^{2}} \end{align}</math> Bewegungsgleichung: Man erhĂ€lt sie durch die Transformation <math>{{x}^{\mu }}={{x}^{\mu }}\left( x{{'}^{\nu }} \right)</math> aus der Gleichung <math>md_{\tau }^{2}{{x}^{\mu }}=0</math>: :<math>\begin{align} & md_{\tau }^{2}{{x}^{\mu }}=m{{d}_{\tau }}\left( {{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }} \right)=m{{d}_{\tau }}\left( \partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }} \right)=0 \\ & =m\left( \partial '_{\alpha \beta }^{2}{{x}^{\mu }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\beta }}+\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}d_{\tau }^{2}x{{'}^{\alpha }} \right)=0 \\ \end{align}</math> Durch Multiplikation mit <math>{{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\sigma }}</math>liefert mit <math>\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\sigma }}=\delta _{\alpha }^{\sigma }</math>: :<math>d_{\tau }^{2}x{{'}^{\sigma }}+\underbrace{\underbrace{{{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\sigma }}\partial '_{\alpha \beta }^{2}{{x}^{\mu }}}_{=:\Gamma '_{\alpha \beta }^{\sigma }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\beta }}}_{\text{''Tr }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ gheitskr }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ fte''}}=0</math> Da gemÀà <math>\begin{align} & d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}\partial {{'}_{\beta }}{{x}^{\nu }}dx{{'}^{\alpha }}dx{{'}^{\beta }} \\ & =g{{'}_{\mu }}_{\nu }dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }} \end{align}</math>die Metrik im Nicht-Inertialsystem <math>x{{'}^{\mu }}</math>durch <math>{{g}_{\mu \nu }}={{\eta }_{\mu \nu }}\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}\partial {{'}_{\beta }}</math>gegeben ist folgt :<math>\Gamma '_{\nu \rho }^{\mu }=\frac{1}{2}g{{'}^{\mu \alpha }}\left( g{{'}_{\alpha \rho ,\nu }}+g{{'}_{\alpha \nu ,\rho }}-g{{'}_{\nu \rho ,\alpha }} \right)</math> :<math>g{{'}_{\mu \nu }}=\text{''Tr }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ gheitspotentiale''}</math> Der Ăbergang von der Newton`schen Gravitationstheorie zur Allgemeinen RelativitĂ€tstheorie Newtonâsche Gravitationstheorie Die gravitative Wechselwirkung (gemÀà der Newton`schen Axiomatik) Mit <math></math> :<math>\begin{align} & \text{m=tr }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ge Masse} \\ & \text{M=passisve Schwere Masse }\left( passive\text{ Gravitationsladung} \right) \\ & \mathfrak{M}=\text{aktive schwere Masse }\left( aktive\text{ Graviationsladung} \right) \\ \end{align}</math> Bewegungsgleichungen (gemÀà dem 2. Axiom): 3. Axiom <math>F_{21}^{i}=-F_{12}^{i}</math> d.h. Newtons Pendelversuch:<math>m=M</math> da Schwingungsdauer<math>T=2\pi \sqrt{\frac{m}{M}\frac{l}{g}}</math>Also<math>m=M=\mathfrak{M}</math>Ăquivalenz von schweren und TrĂ€gen Massen) Dieses sogenannte Ăquivalenzprinzip ist eine Besonderheit der Gravitation (siehe dazu §10) Das Ăquivalenzprinzip in der Newtonschen Gravitationstheorie Dieses Prinzip benennt die Besonderheit der graviativen Wechselwirkung wie ein Verglich mit der elektrischen Wechselwirkung zeigt Bewegungsgleichungen 3. Axiom <math>q=Q</math> Diese Ăquivalenz wird auch in der Elektrodynamik vorrausgesetzt, da ansonsten weder ein Potential nochj eine Lagrange-Funktion eingefĂŒhrt werden kann (Clausius). Denn nur dann gilt: :<math>\begin{align} & {{q}_{1}}E_{2}^{i}=-{{q}_{1}}\frac{\partial {{U}_{2}}}{\partial x_{1}^{i}}=-\frac{\partial U}{\partial x_{1}^{i}} \\ & {{q}_{2}}E_{1}^{i}=-{{q}_{2}}\frac{\partial {{U}_{1}}}{\partial x_{2}^{i}}=-\frac{\partial U}{\partial x_{2}^{i}} \\ \end{align}</math> Mit <math>U={{q}_{1}}{{U}_{1}}={{q}_{2}}{{U}_{2}}</math> Also <math>m\ne q=Q</math>(die elektrische Ladung ist also nicht gleich der trĂ€gen Masse, wohl aber ist die Gravitationsladung gleich der trĂ€gen Masse) Die lokale Ăquivalenz von TrĂ€gheit und Schwere (Einsteinsches Ăquivalenzprinzip) Verschiedene Versionen des Newton`schen Ăquivalenzprinzips Die trĂ€ge Masse m ist gleich der schweren Masse M BezĂŒglich eines in einem homogenen Gravitationsfeld frei Fallenden Bezugssystems (âEinsteinscher Fahrstuhlâ) verlaufen alle Prozesse so, als wĂ€re kein Gravitationsfeld vorhanden. Denn :<math>{{x}^{i}}</math> Kartesische Koordinaten in den O ruht :<math>x{{'}^{i}}</math>mit dem frei fallenden Fahrstuhl verbundene kartesische Koordinaten :<math>{{x}^{i}}\to x{{'}^{i}}={{x}^{i}}-\frac{1}{2}{{g}^{i}}{{t}^{2}}</math> (also :<math>{{x}^{i}}=x{{'}^{i}}+\frac{1}{2}{{g}^{i}}{{t}^{2}}</math> ) :<math>{m_{A}}d_{t}^{2}x_{A}^{i}={{M}_{A}}{{g}^{i}}+{{F}^{i}}\to {{m}_{A}}d_{t}^{2}x'_{A}^{i}=\left( {{M}_{A}}-{{m}_{A}} \right){ {g}^{i}}+F{{'}^{i}}={{F}^{i}}</math> Mit Fi irgendwelche andere auf mA wirkende KrĂ€fte BezĂŒglich eines in eines im homogenen Gravitationsfeld frei fallenden lokalen Bezugssystems verlaufen alle Prozesse, so als wĂ€re kein Gravitationsfeld vorhanden. Mit Einstein (1907): âDer GlĂŒcklichste Gedanke meines Lebensâ: Diese Eigenschaft der Graviation ist wesentlich und sollte auch in der relativistischen Theorie der Graviation gelten ï Einsteinsche Ăquivalenzprinzip In einem frei fallenden lokalen Bezugssystem gelten die Gesetze der SRT bzw. In einem lokalen Inertialssystem gelten die Gesetzte der SRT bzw. umgekehrt Durch eine Transformation die den Ăbergang von einem lokalen Inertialsystem (LIS) zu einem dagegen beschleunigtem System beschreibt erhalten die SRT-Gleichungen eine Form, die den EinfluĂ eines Ă€uĂeren Gravitationsfeldes berĂŒcksichtigt. :<math>{{g}_{\mu \nu }}=\text{Gravitationspotentiale}</math> ResĂŒmee der Kapitel II und III Kap II Kap III In der SRT (also ohne BerĂŒcksichtigung der Gravitation) gilt: Aufgrund des fĂŒr die Gravitation vorausgesetzten Ăquivalenzprinzips gilt: In einem globalen (u. dann natĂŒrlich auch lokalen) IS gelten die Gesetze der SRT In einem lokalen IS gelten die Gesetze der SRT In einem globalen (u. dann natĂŒrlich auch lokalen) NICHT-IS beschreibt die dann auftretende Metrik <math>{{g}_{\mu \nu }}\ne {{\eta }_{\mu \nu }}</math> TrĂ€gheitsfelder In einem lokalen NICHT-IS beschreibt die dann auftretende Metrik <math>{{g}_{\mu \nu }}\ne {{\eta }_{\mu \nu }}</math> auch Gravitationsfelder Aufgrund des Ăquivalenzprinizips werden TrĂ€gheit und Schwere lokal definiert (d.h. durch ein und dasselbe Feld <math>{{g}_{\mu \nu }}\left( {{x}^{\alpha }} \right)</math>beschrieben Formales Schema: Gleichungen der SRT, die irgendwelche physikalischen Prozesse in einem IS ohne den Einfluss eines Gravitationsfeldes beschreiben ALLGEMEINE KOORDINATENTRANSFORMATION Gleichungen die diese Prozesse unter BerĂŒcksichtigung der Graviation Physikalische Beobachtung genĂŒgt der Ăbergang zu allgemeinen kovarianten Gleichungen aber erst im Riemann`schen Raum. Riemannsche Geometrie Der Riemannsche Raum Vergleich 2-dimeionsonale ebener und 2 dim gekrĂŒmmter RĂ€ume um den Begriff des gekrĂŒmmten Raumes an einem Beispiel zu illustrieren Euklidischer Raum (n=2) GekrĂŒmmter Raum (n=2) In kartesischen Koordinaten Linienelment <math>d{{s}^{2}}={{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}+{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}={{\delta }_{\alpha \beta }}d{{x}^{\alpha }}d{{x}^{\beta }}</math> Geradengleichung <math>d_{t}^{2}{{x}^{\alpha }}=0</math>mit t=Kurvenparameter Es existieren keine kartesischen Koordinaten z.B. <math>d{{s}^{2}}={{a}^{2}}\left( d{{\theta }^{2}}+{{\sin }^{2}}\theta d{{\varphi }^{2}} \right)</math>d Krummlinige Koordinaten (Polarkoordinaten) :<math>\begin{align} & d{{s}^{2}}=d{{r}^{2}}+{{r}^{2}}d{{\varphi }^{2}} \\ & ={{g}_{\mu \nu }}\left( x' \right)dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }} \end{align}</math> :<math>d_{t}^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{t}}{{x}^{\mu }}{{d}_{t}}{{x}^{\nu }}=0</math> Es gibt nur Krummlinige Koordinaten z.B. die obrigen :<math>d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}\left( x \right)d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math> :<math>d_{t}^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{t}}{{x}^{\mu }}{{d}_{t}}{{x}^{\nu }}=0</math> Minkowsik Raum (n=4) GekrĂŒmmter Raum (n=4) In quasi kartesischen Koordinaten (Globale Inertialsystem) Linienelment :<math>\begin{align} & d{{s}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}} \\ & ={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }} \end{align}</math> Geradengleichung (gradlinige gleichförmige Bewegung) :<math>d_{\tau }^{2}{{x}^{\mu }}=0</math> Mit Koordinatentransformation ISï NICHT-IS Es gibt keine quasi kartesischen Koordinaten, d.h. keine globalen IS. In krummlinigen Koordinaten (Nicht Inertialsystem) :<math>d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}\left( x' \right)dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}</math> :<math>d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0</math> In krummlinigen Koordinaten (Nicht Inertialsystem) :<math>d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}\left( x \right)d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math> :<math>d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0</math> Definition: Riemannscher Raum <math>{{V}_{4}}</math>=4-dimensionale Mannigfaltigkeit auf der eine Metrik <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>definiert ist, derart dass <math>d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math>invariant ist gegenĂŒber allgemeinen Koordinatentransformationen <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>die Signatur -2 hat Tensoren im Riemannschen Raum (vgl. auch Kapitel 4) Riemannscher Raum <math>{{V}_{4}}</math>=4-dimensionale Mannigfaltigkeit auf der eine Metrik <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>definiert ist, derart dass <math>d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math>invariant ist gegenĂŒber allgemeinen Koordinatentransformationen <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>die Signatur -2 hat Beziehungen: Es gibt wieder (wie im Minkowski-Raum) drei Arten von AbstĂ€nden Zeitarting ( <math>d{{s}^{2}}>0</math> ) Lichtartig( <math>d{{s}^{2}}=0</math> ) Spannen den Lichtkegel auf raumartig( <math>d{{s}^{2}}<0</math> ) Tensoren (sie werden durch ihr Verhalten bei allgemeinen Koordinatentranformationenn bestimmt) kontravarianter Vektor <math>{{v}^{\beta }}</math> :<math>v{{'}^{\beta }}=\Lambda _{\alpha }^{\beta }{{v}^{\alpha }}</math>ï <math>v{{'}^{\beta }}={{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\beta }}{{v}^{\mu }}</math> Kovarianter Vektor <math>{{v}_{\beta }}</math>: :<math>{{v}_{\beta }}={{\eta }_{\beta \alpha }}{{v}^{\alpha }}</math>ï <math>{{v}_{\beta }}:={{g}_{\beta \alpha }}{{v}^{\alpha }}</math> Heben und Senken von Indices :<math>{{v}^{\beta }}={{g}^{\beta \alpha }}{{v}_{\alpha }}</math> mit <math>{{g}^{\alpha \sigma }}{{g}_{\sigma \beta }}=\delta _{\beta }^{\alpha }</math> Also <math>v{{'}_{\beta }}=g{{'}_{\alpha \beta }}v{{'}^{\alpha }}={{\partial }_{\beta }}{{x}^{\sigma }}{{v}_{\sigma }}</math> Allgemein <math>T{{'}^{\alpha ...\beta }}_{\mu ...\nu }={{\partial }_{\rho }}x{{'}^{\alpha }}...{{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\beta }}\partial {{'}_{\mu }}{{x}^{\tau }}...\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}{{T}^{\rho ...\sigma }}_{\mu ...\nu }</math> Die Symmetrien bleiben bei Transformationen erhalten :<math>\begin{align} & {{T}_{\left( \mu \nu \right)}}\equiv {{S}_{\mu \nu }}:=\frac{1}{2}\left( {{T}_{\mu }}_{\nu }+{{T}_{\nu }}_{\mu } \right)={{S}_{\nu }}_{\mu } \\ & {{T}_{\left[ \mu \nu \right]}}\equiv {{A}_{\mu }}_{\nu }:=\frac{1}{2}\left( {{T}_{\mu }}_{\nu }-{{T}_{\nu }}_{\mu } \right)={{A}_{\nu }}_{\mu } \\ & {{T}_{\mu }}_{\nu }={{S}_{\mu }}_{\nu }+{{A}_{\mu }}_{\nu } \\ \end{align}</math> :<math>S{{'}_{\mu }}_{\nu }=\partial {{'}_{\mu }}{{x}^{\alpha }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\beta }}{{S}_{\alpha }}_{\beta }=\partial {{'}_{\mu }}{{x}^{\beta }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\alpha }}{{S}_{\beta }}_{\alpha }=\partial {{'}_{\mu }}{{x}^{\beta }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\alpha }}{{S}_{\alpha }}_{\beta }=S{{'}_{\nu \mu }}</math> Die partielle Ableitung ist keine kovariante Operation, d.h. sie macht einem Tensor k-ter Stufe keinen Tensor (k+1)-ter Stufe. Denn: :<math>\partial {{'}_{\nu }}A{{'}^{\mu }}={{\partial }_{\rho }}A{{'}^{\mu }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}={{\partial }_{\rho }}\left( {{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\mu }}{{A}^{\sigma }} \right)\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}=\partial _{\rho \sigma }^{2}x{{'}^{\mu }}\partial {{'}_{\nu }}{{A}^{\sigma }}+{{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\mu }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}{{\partial }_{\rho }}{{A}^{\sigma }}</math> Daher ist es notwendig eine kovariante Ableitung einzufĂŒhren Partielle und kovariante Ableitung Definition der kovarianten Ableitung durch de Forderungen: Die kovariante Ableitung eines Tensors k-ter Stufe ergibt ein Tensor (k+1)-ter Stufe Im Minkowski-Raum reduziert sich im quasi-kartesischen Koordinaten (d.h. in einem globalen IS) die kovariante auf die partielle Ableitung (In einem Riemannschen Raum ist das fĂŒr lokale IS zu fordern. Man betrachte dazu die Transformations-Eigenschaften der Christoffel-Symbole die in den §§8 und 11 beim Ăbergang von einem IS bzw. lokalen IS zu beliebigen Koordinaten auftreten. IS bzw. lokales IS Beliebiges KS Koordinaten <math>{{\xi }^{\mu }}</math> Metrik <math>{{\eta }_{\mu \nu }}</math> Geradengleichung bzw. Bewegungsgleichung eines freien Teilchens: <math>d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}=0</math> Koordinaten <math>{{x}^{\mu }}</math> Metrik <math>{{g}_{\mu \nu }}</math> Geradengleichung bzw. Bewegungsgleichung eines freien Teilchens: <math>d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0</math> Wobei <math>\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }:=\frac{\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial {{\xi }^{\rho }}}\frac{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\rho }}}{\partial {{x}^{\mu }}\partial {{x}^{\nu }}}=\frac{1}{2}{{g}^{\alpha \sigma }}\left( {{g}_{\mu \sigma ,\nu }}+{{g}_{\nu \sigma ,\mu }}-{{g}_{\mu \nu ,\sigma }} \right)</math> Nun Ăbergang von Koordinaten <math>{{x}^{\mu }}</math>zu neuen Koordinaten <math>x{{'}^{\mu }}</math>: :<math>\begin{align} & \Gamma '_{\nu \lambda }^{\mu }=\frac{\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}\frac{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\tau }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}} \\ & =\frac{\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}\frac{\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}\frac{\partial }{\partial x{{'}^{\nu }}}\left( \frac{\partial {{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}\frac{\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}} \right) \\ & =\frac{\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}\frac{\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}\partial {{x}^{\rho }}}\frac{\partial {{x}^{\rho }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}\frac{\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}}\frac{\partial {{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}} \right) \\ & =\frac{\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}\frac{\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}\frac{\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}}\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }+\frac{\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{x}^{\sigma }}}\frac{{{\partial }^{2}}{{x}^{\sigma }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}} \end{align}</math> Betrachte nun <math>\Gamma '_{\nu \lambda }^{\mu }A{{'}^{\lambda }}</math> Daher gilt wegen des letzten Ausdrucks von §13: :<math>\partial {{'}_{\nu }}A{{'}^{\alpha }}+\Gamma '_{\mu \nu }^{\alpha }A{{'}^{\mu }}={{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\alpha }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}\left( {{\partial }_{\rho }}{{A}^{\sigma }}+\Gamma _{\beta \sigma }^{\sigma }{{A}^{\beta }} \right)</math> Transformation eines Tensors 2-ter Stufe! Definition der kovarianten Ableitung: :<math>{{\nabla }_{\nu }}{{A}^{\alpha }}\equiv {{A}^{\alpha }}_{;\nu }:={{A}^{\alpha }}_{,\nu }+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}</math> Allgemein gilt: :<math>\begin{align} & \begin{array}{*{35}{l}} T_{rs...;l}^{ik...}=T_{rs...,l}^{ik...} & +\Gamma _{ml}^{i}T_{rs...}^{mk...}\quad & {} & +\Gamma _{ml}^{k}T_{rs...}^{im...}... & \quad & \text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r jeden oberen Index} \\ {} & -\Gamma _{rl}^{m}T_{ms...}^{ik...}\quad & {} & -\Gamma _{sl}^{m}T_{rm...}^{ik...}... & {} & \text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r jeden unteren Index} \\ \end{array} \\ & \begin{matrix} T_{rs...;l}^{ik...}=T_{rs...,l}^{ik...} & +\Gamma _{ml}^{i}T_{rs...}^{mk...} & +\Gamma _{ml}^{k}T_{rs...}^{im...}... & \text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r jeden oberen Index} \\ {} & -\Gamma _{rl}^{m}T_{ms...}^{ik...} & -\Gamma _{sl}^{m}T_{rm...}^{ik...}... & \text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r jeden unteren Index} \\ \end{matrix} \\ \end{align}</math> Es gilt <math>{{g}_{\mu \nu ;\sigma }}\equiv 0</math>(das ist ein Charakteristikum der Riemannschen Geometrie) Paralleltransport von Vektoren Anschauliche Bedeutung der kovarianten Ableitung fĂŒhrt zum Begriff âParlleltransportâ bzw. âParallelitĂ€t von Vektoren in infinitesimal benachbarten Punktenâ: Das totale Differential eines Vektors <math>{{A}^{\alpha }}</math> :<math>d{{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}_{,\nu }d{{x}^{\nu }}={{A}^{\alpha }}\left( {{x}^{\lambda }}+d{{x}^{\lambda }} \right)-{{A}^{\mu }}\left( {{x}^{\lambda }} \right)</math> Ist also kein Vektor (s.o), weil die Termine :<math>{{A}^{\alpha }}\left( {{x}^{\lambda }}+d{{x}^{\lambda }} \right)</math> und <math>{{A}^{\alpha }}\left( x \right)</math>sich verschieden transformieren, denn <math>{{\alpha }^{\alpha }}_{\nu }\left( x+dx \right)\ne {{\alpha }^{\alpha }}_{\nu }\left( x \right)</math>. Die Differenz ist deshalb kein Tensor. Man muss also :<math>{{A}^{\alpha }}\left( x+dx \right)</math> zum Punkt x transportieren, ohne dass z sich im Minkowski-Fall Ă€ndert (d.h. ihn nach x parallel verschieben). Die Ănderung bei Parallelverschiebung sei <math>\delta {{A}^{\alpha }}</math>genannt. :<math>D{{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}\left( x+dx \right)-{{A}^{\mu }}\left( x \right)-\delta {{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}_{,\nu }d{{x}^{\nu }}-\delta {{A}^{\alpha }}</math> (man zieht also die Ănderung bei der Parallelverschiebung ab) Aufgrund der oben definierten kovarianten Ableitung weiĂ man, wie <math>\delta {{A}^{\alpha }}</math>aussieht: :<math>D{{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}_{;\nu }d{{x}^{\nu }}={{A}^{\alpha }}_{,\nu }d{{x}^{\nu }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math> d.h. <math>\delta {{A}^{\alpha }}=-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math> Also: 2 Vektoren in infinitesimalen Punkten sind genau dann parallel, wenn die beiden Ănderungen <math>d{{A}^{\alpha }}</math>und <math>\delta {{A}^{\alpha }}</math>sich gegenseitig kompensieren, d.h. wenn die kovariante Ableitung verschwindet:<math>d{{A}^{\alpha }}-\delta {{A}^{\alpha }}={{A}^{\alpha }}_{,\nu }d{{x}^{\nu }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}=0</math>. Bemerkungen: Es gibt keinen Fernvergleich von Vektoren (d.h. von Richtungen sondern nur den von Winkeln) Bei dieser Art der Verschiebung Ă€ndert sich der Winkel zwischen Vektor und Kurve (anders beim Fermi-Walker-Transport) GeodĂ€tische Linien (GeodĂ€ten) Def. der Autoparallel (die âgradeste Verbindungâ zweier Punkte): (FĂŒr beliebige Kurven Ă€ndert sich der Winkel zwischen Vektro und Kurve (s.o.)) Autoparllele=Kurve, lĂ€ngst der der Tangentenvektor parallel verschoben wird :<math>{{A}^{\alpha }}_{,\nu }{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{A}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0</math> (Parallelverschiebung) :<math>{{A}^{\alpha }}={{d}_{\tau }}{{x}^{\alpha }}</math> (Tangentenvektor an Kurve mit Kurvenparameter <math>\tau </math>) :<math>\Rightarrow d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0</math> (Autoparallelengleichung) Definition der GeodĂ€ten (die âkĂŒrzeste Verbindungâ zweier Punkte): GeodĂ€te=Kurve lĂ€nger der <math>\delta \int_{A}^{B}{ds}=0</math>. :<math>\Rightarrow d_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}=0</math> (GeodĂ€tengleichung) Die Autoparallele ist gleich der GeodĂ€ten (ein Charakteristikum der Riemannschen Geometrie) Der KrĂŒmmungstensor Der KrĂŒmmungstensor ist ein kovariantes MaĂ fĂŒr die KrĂŒmmung des Raumes (Die Metrik und die Konnektoren sind ungeeignet: <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>ist kein âpunktuellesâ MaĂ, da in einem Punkt immer auf <math>{{\eta }_{\mu \nu }}</math>zu transformieren und <math>\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }</math>ist kein Tensor.) Erste Art der Definition :<math>\begin{align} & {{A}^{\alpha }}_{;\mu ;\nu }-{{A}^{\alpha }}_{;\nu ;\mu }={{R}^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }{{A}^{\beta }} \\ & {{R}^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }=\Gamma _{\beta \nu ,\mu }^{\alpha }-\Gamma _{\beta \mu ,\nu }^{\alpha }+\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }\Gamma _{\beta \nu }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\Gamma _{\beta \mu }^{\sigma } \\ \end{align}</math> Zweite Art der Definition :<math>{{A}^{\alpha }}\left( q \right)={{A}^{\alpha }}\left( {{x}^{\lambda }}+d{{x}^{\lambda }}+d{{{\bar{x}}}^{\lambda }} \right)={{A}^{\alpha }}\left( {{x}^{\lambda }}+d{{{\bar{x}}}^{\lambda }}+d{{x}^{\lambda }} \right)</math> 1. Weg 2. Weg :<math>\Delta {{A}^{\alpha }}=\delta {{A}^{\alpha }}_{\left( 1 \right)}-\delta {{A}^{\alpha }}_{\left( 2 \right)}=-{{R}^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }{{A}^{\mu }}d{{\bar{x}}^{\beta }}d{{x}^{\nu }}</math> Symmetrien des Riemannschen KrĂŒmmungstensors :<math>\begin{align} & {{R}_{\alpha \beta \mu \nu }}=-{{R}_{\beta \alpha \mu \nu }}=-{{R}_{\alpha \beta \nu \mu }}={{R}_{\mu \nu \alpha \beta }} \\ & {{R}^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }+{{R}^{\alpha }}_{\mu \nu \beta }+{{R}^{\alpha }}_{\nu \beta \mu }=0 \\ \end{align}</math> Es bleiben also noch 20 algebraisch unabhĂ€ngige Komponenten DifferentialidentitĂ€t (Bianchi-IdentitĂ€t) :<math>{{R}_{\alpha \beta \mu \nu ;\lambda }}+{{R}_{\alpha \beta \nu \lambda ;\mu }}+{{R}_{\alpha \beta \lambda \mu ;\nu }}=0</math> Ricci-Tensor<math>{{R}_{\beta \nu }}:={{g}^{\alpha \mu }}{{R}_{\alpha \beta \mu \nu }}</math> Ricci-Skalar <math>R={{g}^{\beta \nu }}{{R}_{\beta \nu }}</math> Damit verfĂŒgen wir ĂŒber das gemometrische Inventar zur Formulierung der Einsteinschen Gravitationsgleichungen. âŠâŠâŠRECHNUNG FEHLTâŠâŠâŠ Grundgesetze der Allgemeinen RelativitĂ€tstheorie Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum (schwaches Ăquivalenzprinzip bzw. Einsteinsches Ăquivalenzprinzip) SRT Gesetze ohne Gravitation ï Koordinaten Transformation ï ART-Gesetze (Relativistisch) Gesetze mit Gravitation :<math>\begin{align} & {{\xi }^{\alpha }}\to {{x}^{\alpha }} \\ & {{\eta }_{\mu \nu }}\to {{g}_{\mu \nu }} \\ & {{\partial }_{\mu }}\to {{D}_{\mu }} \\ \end{align}</math> Tensoren im M4 ï Tensoren im V4 :<math>\begin{align} & d{{\xi }^{\alpha }}\to d{{x}^{\alpha }}=\frac{\partial {{x}^{\alpha }}}{d{{\xi }^{\mu }}}d{{\xi }^{\mu }} \\ & {{\eta }_{\mu \nu }}\to {{g}_{\mu \nu }}={{\eta }_{\alpha \beta }}\frac{\partial {{\xi }^{\alpha }}}{\partial {{x}^{\mu }}}\frac{\partial {{\xi }^{\beta }}}{\partial {{x}^{\nu }}} \\ & A_{{{M}_{4}}}^{\alpha }\to A_{{{V}_{4}}}^{\alpha }=\frac{\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial {{\xi }^{\mu }}}A_{{{M}_{4}}}^{\mu } \\ \end{align}</math> Mechanik :<math>m{{d}_{\tau }}{{u}^{\alpha }}={{f}^{\alpha }}\to m{{d}_{\tau }}{{u}^{\alpha }}={{f}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}</math> (nichtrelativistische NĂ€herung §31a) Elektrodynamik :<math>\left. \begin{align} & {{F}^{\mu \nu }}_{,\nu }=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\mu }} \\ & {{\varepsilon }^{\nu \mu \alpha \beta }}{{F}_{\alpha \beta ,\mu }}=0 \end{align} \right\}\to \left\{ \begin{align} & {{F}^{\mu \nu }}_{;\nu }=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\mu }} \\ & \frac{1}{\sqrt{-g}}{{\varepsilon }^{\nu \mu \alpha \beta }}{{F}_{\alpha \beta ;\mu }}=0 \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{1}{\sqrt{-g}}{{\left( \sqrt{-g}{{F}^{\mu \nu }} \right)}_{,\nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\mu }} \\ & {{\varepsilon }^{\nu \mu \alpha \beta }}{{F}_{\alpha \beta ,\mu }}=0 \end{align} \right.</math> Nichtrelativistischer Grenzfall Der mechanischen Bewegungsgleichung :<math>{{f}^{\alpha }}=0</math> :<math>{{v}^{i}}\ll c\to {{d}_{t}}{{x}^{i}}\ll c\to {{d}_{t}}{{x}^{i}}\ll {{d}_{t}}\left( ct \right)\to {{d}_{t}}d{{x}^{i}}\ll {{d}_{t}}d{{x}^{0}}\to {{d}_{\tau }}{{x}^{i}}\ll {{d}_{\tau }}{{x}^{0}}</math> Also :<math>md_{\tau }^{2}{{x}^{\alpha }}=-m\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}{{d}_{\tau }}{{x}^{\nu }}\approx -m\Gamma _{00}^{\alpha }{{d}_{\tau }}{{x}^{0}}{{d}_{\tau }}{{x}^{0}}</math> :<math>{{g}_{\mu \nu ,0}}=0</math> (statische Felder) :<math>\to \Gamma _{00}^{\alpha }=\frac{1}{2}{{g}^{\alpha \sigma }}\left( {{g}_{\sigma 0,0}}+{{g}_{0\sigma ,0}}-{{g}_{00,\sigma }} \right)=-\frac{1}{2}{{g}^{\alpha i}}{{g}_{00,i}}</math> (schwache Felder) Bewegungsgleichungen: :<math>d_{\tau }^{2}t=0\to {{d}_{\tau }}t=\text{const}</math> :<math>d_{\tau }^{2}{{x}^{i}}=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}{{\partial }_{i}}{{h}_{00}}{{\left( {{d}_{\tau }}t \right)}^{2}}\to d_{t}^{2}{{x}^{i}}=-\frac{{{c}^{2}}}{2}{{h}_{00,i}}\to {{g}_{00}}=1+{{h}_{00}}=1+\frac{2\phi }{c}</math> Man kann <math>\Delta \varphi =4\pi G\rho </math> daher schreiben als :<math>\Delta {{g}_{00}}=\frac{8\pi G}{{{c}^{2}}}\rho </math> Energie â Impuls Tensor Alle Energieformen au0er der Gravitation tragen zum Energie-Impuls-Tensor bei :<math>\begin{align} & {{T}^{\mu \nu }}=T_{HD}^{\mu \nu }+T_{ED}^{\mu \nu } \\ & T_{ED}^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }\left( {{F}^{\alpha }}_{\mu }{{F}^{\mu \nu }}+\frac{1}{4}{{\eta }_{\mu \nu }}{{F}_{\alpha }}_{\beta }{{F}^{\alpha }}^{\beta } \right) \\ & \left( T_{ED}^{00}=\frac{1}{8\pi }\left( {{\mathbf{E}}^{2}}+{{\mathbf{B}}^{2}} \right),\mathbf{S}=c\sum\limits_{i}{T_{ED}^{0i}{{\mathbf{e}}_{i}}}=\frac{c}{4\pi }\mathbf{E}\times \mathbf{B} \right) \\ \end{align}</math> :<math>{{\partial }_{\mu }}{{T}^{\mu }}^{\nu }=0</math> differentieller Energie-Impuls-Erhaltungssatz Daraus folgt fĂŒr rĂ€umlich begrenzte Systeme: :<math>\frac{\partial }{\partial \left( ct \right)}\int\limits_{{{V}_{3}}}{{{T}^{\alpha 0}}{{d}^{3}}x}=-\int\limits_{{{V}_{3}}}{{{\partial }_{i}}{{T}^{\alpha i}}{{d}^{3}}x}=-\int\limits_{\partial {{V}_{3}}}{{{T}^{\alpha i}}d{{F}_{i}}}=0</math> :<math>\Rightarrow {{p}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\int\limits_{{{V}_{3}}}{{{T}^{\alpha 0}}{{d}^{3}}x}=\text{const}</math> (Integraler Energie-Impuls-Erhaltungs-Satz) In der ART gilt :<math>{{D}_{\alpha }}{{T}^{\alpha \beta }}={{T}^{\alpha \beta }}_{,\beta }+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }{{T}^{\mu \beta }}+\Gamma _{\mu \beta }^{\beta }{{T}^{\alpha \mu }}=0</math> Einsteinsche Feldgleichungen der Gravitation Struktur (âAbleitungâ) der Gleichungen Aufgabe: Relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationsgleichung :<math>\Delta \phi =4\pi G\rho </math> (1.3) Wobei die gesuchten Gleichungen Differentialgleichungen fĂŒr <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>sind. Nichtrelativistischer Grenzfall der Bewegungsgleichungen ï Hinweis fĂŒr die Verallgemeinerung der linken Seite von (1.3): :<math>{{g}_{00}}\approx 1+2\frac{\phi }{{{c}^{2}}}</math> Vergleich weiter oben Nichtrelativistischer Grenzfall des Energie-Impuls-Tensors einer idealen FlĂŒssigkeit ï Hinweis fĂŒr die Verallgemeinerung der rechten Seite von (1.3) :<math>\left( {{T}^{\alpha }}^{\beta } \right)={{\delta }_{\alpha \beta 0}}\rho {{c}^{2}}</math> Denn fĂŒr <math>\frac{{{v}^{i}}}{c}\ll 1,\frac{p}{\rho {{c}^{2}}}\ll 1</math>gilt :<math>{{T}^{\alpha \beta }}=\left( \rho +\frac{p}{{{c}^{2}}} \right){{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}-P{{g}^{\alpha \beta }}</math> :<math>\Rightarrow {{T}^{00}}\approx \rho {{c}^{2}},\frac{{{T}^{0i}}}{{{T}^{00}}}\approx \frac{{{v}^{i}}}{{{c}^{2}}}\ll 1,\frac{{{T}^{ij}}}{{{T}^{00}}}=O\left( \frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)\ll 1</math> Also mögliche Formulierung von (1.3) :<math>\Delta {{g}_{00}}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}_{00}}</math> (1.4) Gesucht ist eine Verallgemeinerung dieser Gleichung, die es erlaubt, alle <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>zu bestimmen. Naheliegende Verallgemeinerungen von (1.4): :<math>\begin{align} & {{\square }_{\eta }}{{g}_{\mu \nu }}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}_{\mu \nu }} \\ & {{\square }_{\eta }}:={{\eta }^{\alpha \beta }}{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }_{\beta }} \\ \end{align}</math> <-> -Widerspricht der Gleichung <math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0</math> :<math>\begin{align} & {{\square }_{g}}{{g}_{\mu \nu }}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}_{\mu \nu }} \\ & {{\square }_{g}}:={{g}^{\alpha \beta }}{{D}_{\alpha }}{{D}_{\beta }} \\ \end{align}</math> <-> -Sinnlos da <math>{{D}_{\alpha }}{{g}_{\mu \nu }}\equiv 0</math> Man hat fĂŒr die linke Seite der Gleichung einen Tensor zu suchen der folgenden Bedingungen genĂŒgt: :<math>{{G}_{\mu }}_{\nu }=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }</math> <math>{{G}_{\mu }}_{\nu }</math>ist ein Riemannscher Tensor 2ter Stufe <math>{{G}_{\mu }}_{\nu }</math>Ist symmetrisch <math>{{G}_{\mu }}_{\nu }</math>enthĂ€lt keine höheren Ableitungen von <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>als die zweite: <math>{{G}_{\mu }}_{\nu }={{G}_{\mu }}_{\nu }\left[ {{g}_{\mu \nu }},\partial {{g}_{\mu \nu }},{{\partial }^{2}}{{g}_{\mu \nu }} \right]</math> <math>{{G}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0</math> FĂŒr schwache, statische Felder gilt <math>{{G}_{00}}\approx \Delta {{g}_{00}}</math> Aus (1)-(3) folgt <math>{{G}_{\mu }}_{\nu }=a{{R}_{\mu }}_{\nu }+bR{{g}_{\mu \nu }}</math> Aus (4) folgt <math>a=-2b</math> Da :<math>\begin{align} & \to {{G}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\alpha }}=a{{R}^{\alpha \beta }}_{;\alpha }+b{{g}^{\alpha }}^{\beta }{{R}_{;\alpha }}=0 \\ & \to a=-2b \\ \end{align}</math> Aus (5) folgt <math>a=-1</math> Also :<math>{{R}_{\mu }}_{\nu }-\frac{1}{2}{{g}_{\mu \nu }}R=-\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }</math> (Einsteinsche Gleichungen ohne kosmologischen Term) :<math>{{R}_{\mu }}_{\nu }-\frac{1}{2}{{g}_{\mu \nu }}R+\Lambda {{g}_{\mu \nu }}=-\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }</math> (Einsteinsche Gleichungen mit kosmologischem Term) Einsteinsche Gleichungen und Bewegungsgleichungen SRT :<math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,\beta }}=0\Rightarrow {{p}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\int\limits_{V}{{{T}^{\alpha 0}}{{d}^{3}}x}=\text{const}</math>(Energie Impuls Erhaltung) ART :<math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,\beta }}=0\xrightarrow[\text{ }\!\!\ddot{\mathrm{A}}\!\!\text{ quivalenzprinzip}]{}{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0</math> :<math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0\Rightarrow {{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,\beta }}\ne 0</math>ï keine Energie Impuls Erhaltung In der ART sind die Gleichungen <math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0</math>keine Energie Impuls ErhaltungssĂ€tze sondern Bewegungsgleichungen. Das Variationsproblem der Einsteinschen Gravitationsgleichungen Allgemeines Schema Man konstruiert ein das physikalische System charakterisierende Wirkungsintegral S :<math>S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( \Phi ,\partial \Phi \right)dt}</math> Die Feld bzw. Bewegungsgleichungen folgen dann aus dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip <math>\delta S=0</math>fĂŒr die Euler-Variation <math>\delta \Phi </math>der Variablen <math>\Phi </math>. Mechanik (Systeme mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden) Voraussetzung: L enthĂ€lt bisauf Terme der Form <math>{{d}_{t}}F</math>(wobei <math>F=F\left( q,t \right)</math>) nur erste Ableitungen der Variablen <math>\Phi </math> Hamiltonsches Prinzip Resultierende Bewegungsgleichungen (Euler-Lagrange-Gleichungen)<math>\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{{{\dot{q}}}^{i}}}}-{{\partial }_{{{q}^{i}}}} \right)L=0</math> Einstein Gleichungen Einstein Hilbertsches Wirkungsintegral SEH :<math>{{S}_{EH}}=\int\limits_{{{V}_{4}}}{\left( R+2\kappa {{L}_{Mat}} \right)\sqrt{-g}{{d}^{4}}x}</math> Mit :<math>{{L}_{Mat}}</math> = kovariant geschriebene Lagrangefunktion fĂŒr die das Gravitationspotential <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>erzeugenden Terme Einsteinsches Wirkungsintegral SE :<math>\begin{align} & R=\frac{1}{\sqrt{-g}}{{\left[ \sqrt{-g}\left( -{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu } \right) \right]}_{,\alpha }}+{{L}_{E}}\left( g,\Gamma \right) \\ & {{L}_{E}}={{g}^{\mu }}^{\nu }\left( \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta } \right) \\ & {{S}_{EH}}=\int\limits_{{{V}_{4}}}{\left( {{L}_{E}}+2\kappa {{L}_{Mat}} \right)\sqrt{-g}{{d}^{4}}x}+\int\limits_{{{V}_{4}}}{\frac{1}{\sqrt{-g}}{{\left[ \sqrt{-g}\left( -{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu } \right) \right]}_{,\alpha }}\sqrt{-g}{{d}^{4}}x} \\ \end{align}</math> Der Term :<math>\int\limits_{{{V}_{4}}}{\frac{1}{\sqrt{-g}}{{\left[ \sqrt{-g}\left( -{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu } \right) \right]}_{,\alpha }}\sqrt{-g}{{d}^{4}}x}</math> liefert keinen Betrag zu <math>\delta S</math>da es sich beim Integranden um enie Divergenz <math>{{\partial }_{\nu }}{{K}^{\nu }}</math>handelt (s.o.). :<math>\delta {{S}_{EH}}=\delta {{S}_{E}}=0\Rightarrow {{R}_{\mu }}_{\nu }-\frac{1}{2}{{g}_{\mu \nu }}R=\kappa {{T}_{\mu }}_{\nu }</math>mit <math>{{T}_{\mu }}_{\nu }:=\frac{2}{\sqrt{g}}\frac{\delta \left( \sqrt{-g}{{L}_{Mat}} \right)}{\delta {{g}^{\mu }}^{\nu }}</math> â Lineare NĂ€herung der Einsteinschen Gleichungen Von den Einsteinschen zu den linearisierten Gleichungen Vorbemerkung Elektrodynamik: 4 algebraisch unabhĂ€ngige Gleichungen 1 DifferentialidentitĂ€t ïš 4-1=3 funktional unabhĂ€ngige Gleichungen fĂŒr 4-1=3 Feldfreiheitsgrade (wegen Eichfreiheit <math>{{A}^{\alpha }}\to {{A}^{\alpha }}+{{d}^{\alpha }}\chi </math> ART 10 algebraisch unabhĂ€ngige Gleichungen <math>{{R}^{\mu }}^{\nu }-\frac{1}{2}{{g}^{\mu }}^{\nu }R=-\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }</math> 4 DifferentialidentitĂ€ten ïš 10-4=6 funktional unabhĂ€ngige Gleichungen fĂŒr 10-4=6 Feldfreiheitsgrade (wegen Koordinatenkovarianz <math>{{x}^{\mu }}\to x{{'}^{\mu }}</math>) Linearisierung der Gleichungen :<math>{{R}_{\mu }}_{\nu }=-\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( {{T}_{\mu }}_{\nu }-\frac{1}{2}{{g}_{\mu }}_{\nu }T \right)</math> Ansatz <math>{{g}_{\mu \nu }}={{\eta }_{\mu \nu }}+{{h}_{\mu }}_{\nu }</math>mit <math>\left| {{h}_{\mu }}_{\nu } \right|\ll 1</math>(schwache Felder) :<math>{{g}_{\mu \sigma }}{{g}^{\sigma }}^{\nu }=\delta _{\mu }^{\sigma }\Rightarrow {{g}^{\mu }}^{\nu }={{\eta }_{\mu \nu }}-{{\eta }^{\mu }}^{\alpha }{{\eta }^{\nu }}^{\beta }{{h}_{\alpha }}_{\beta }</math> Nachbemerkung (Zum Vergleich von Elektrodynamik und linearisierter ART) Elektrodynamik (in Potentialform) :<math>\left. \begin{align} & {{F}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,}}_{\nu }=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\alpha }} \\ & {{F}^{\alpha }}^{\beta }={{A}^{\alpha ,\beta }}-{{A}^{\beta ,\alpha }} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \square {{A}^{\alpha }}-{{A}^{\beta ,\alpha }}{{_{,}}_{\beta }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\alpha }}</math> Eichinvarianz bzgl. <math>{{A}^{\alpha }}\to {{A}^{\alpha }}+{{\partial }^{\alpha }}\chi </math>. Daher Ăquivalente Formulierung der ED: Linearisierte ART :<math>\left. \begin{align} & {{R}^{\mu }}^{\nu }-\frac{1}{2}{{g}^{\mu }}^{\nu }R=-\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}^{\mu }}^{\nu } \\ & {{g}_{\mu \nu }}={{\eta }_{\mu \nu }}+{{h}_{\mu }}_{\nu } \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \square {{h}_{\mu }}_{\nu }+...=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}{{S}_{\mu }}_{\nu }</math> Bemerkung (Ăhnlichkeiten und Unterschiede) Von den linearisierten zu den Einsteinschen Gleichungen -entfĂ€llt- Die Schwarzschildlösung und Experimente zur Allgemeinen RelativitĂ€tstheorie Das Kugelsymetrische Graviationsfeld (Schwarzschild-Lösung) Bewegung von Teilchen im kugelsymetrischen Gravitationsfeld Lichtablenkung, Periheldrehung, Radarecheo-Effekt, geodĂ€tische PrĂ€zession Statische Sternmodelle Gravitationsstrahlung Wellenlösungen Nachweis von Gravitationsstrahlung Ăbersicht ĂŒber die durchgefĂŒhrten und geplanten Experimente zur Allgemeinen RelativitĂ€tstheorie Vorbemerkung Der Name âschwaches Ăquivalenzprinzipâ steht hier fĂŒr das was in §11 als Newtonsches und Einsteinsches Ăquivalenzptinzip bezeichnet wurde. Das schwache ĂP macht aber Aussagen ĂŒber den Einfluss eines gegebenen Ă€uĂeren Gravitationsfeldes auf physikalische Prozesse Das starke Ăquivalenzprinzip betrifft die Gravitation selbst, also die Potentiale und deren Bestimmungs-gleichungen. Es besagt: Das Gravitationsfeld ist einzig und allein durch die <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>gegeben, und diese werden durch die Einsteinschen Feldgleichungen bestimmt [ES GIBT UNTERSCHIEDLICHE DEFINITIONEN DES SCHWACHEN UND STARKEN ĂP] Tests des schwachen Ăquvalenzprinzips Eötvös Versuch (mit VorlĂ€ufern und Nachfolgern) Galileisches Fallgesetz Newtons âĂquivalenzprinzipâ m=M Test durch Newton: Pendelversuche <math>T=2\pi \sqrt{\frac{\operatorname{l}}{g}\frac{m}{M}}</math>fĂŒr kleine Winkel <math>\Delta m=\frac{m-M}{m}\approx {{10}^{-3}}</math> Bessel (1784-1846): Pendelversuche <math>\Delta m\approx {{10}^{-6}}</math> Eötvös (1848-1918): Versuche mit der Torosionswage in den Jahren 1880-1919 1922: <math>\Delta m\approx {{10}^{-9}}</math>ï 1990<math>\Delta m\approx {{10}^{-12}}</math> Rotverschiebung Bemerkungen ĂŒber Koordinaten und Eigenzeit SRT ART IS:<math>v\ne 0</math> :<math>\begin{align} & d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }} \\ & d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{{{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}}=\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}dt \\ \end{align}</math> IS:<math>v\ne 0</math> :<math>\begin{align} & d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }} \\ & d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{{{\eta }_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}}=\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}dt \\ \end{align}</math> IS: <math>v'=0</math> (Ruhesystem) :<math>\begin{align} & d{{s}^{2}}={{\eta }_{\mu \nu }}dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }} \\ & d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{{{\eta }_{\mu \nu }}dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}}=\sqrt{1-{{\left( \frac{v'}{c} \right)}^{2}}}dt'=dt' \\ \end{align}</math> Allgemeines KS:<math>v'=0</math>(Ruhesystem) :<math>\begin{align} & d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }} \\ & d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{{{g}_{\mu \nu }}dx{{'}^{\mu }}dx{{'}^{\nu }}} \\ & =\frac{1}{c}\sqrt{{{g}_{\mu \nu }}\frac{dx{{'}^{\mu }}}{dt'}\frac{dx{{'}^{\nu }}}{dt'}}dt=\sqrt{{{g}_{00}}}dt' \end{align}</math> Jede in einem Inertialsystem ruhende Uhr misst die Eigenperiode<math>d\tau </math>. Unter dem Einfluss der Gravitation musst eine ruhende Uhr eine Periode<math>dt\ne d\tau </math>. Nur eine frei fallende Uhr misst <math>d\tau </math>. (d..h. eine Uhr im lokalen IS.) Gravitationsrotverschiebung Betrachten zwei identische Uhren in einem statischen Gravitationsfeld (an den Orten A und B) :<math>\begin{align} & A:d{{\tau }_{A}}=\sqrt{{{g}_{00}}\left( {{x}^{i}}_{A} \right)}d{{t}_{A}} \\ & B:d{{\tau }_{B}}=\sqrt{{{g}_{00}}\left( {{x}^{i}}_{B} \right)}d{{t}_{B}} \\ \end{align}</math> Sei <math>d\tau </math>der Abstand zwiscehn 2 Wellenbergen und dt die Koordinatenzeit zwischen 2 Wellenberen ï <math>d{{\tau }_{A}}=\frac{1}{{{v}_{A}}},d{{\tau }_{B}}=\frac{1}{{{v}_{B}}},d{{t}_{A}}=d{{t}_{B}}</math> ï <math>z:=\frac{{{v}_{A}}-{{v}_{B}}}{{{v}_{B}}}=\frac{{{v}_{A}}}{{{v}_{B}}}-1=\sqrt{\frac{{{g}_{00}}\left( {{x}^{i}}_{B} \right)}{{{g}_{00}}\left( {{x}^{i}}_{A} \right)}}-1</math> mit (z=Rotverschiebungsparameter) Es gibt 3 Arten der Rotverschiebung Doppler-Verschiebung Gravitationsrotverschiebung Kosmologische Rotverschiebung Messung der gravitativen Rotverschiebung mittels des MöĂbauer-Effektes durch Pund&Suider (1965) im Erdfeld: :<math>\frac{{{\left( \Delta \nu \right)}_{\exp }}}{{{\left( \Delta \nu \right)}_{\text{theo}}}}=1.00\pm 0.01</math> Messung der gravitativen Rotverschiebung des Sonnenlichtes die durch das Gravitationsfeld der bewirkt wird (Snider 1972): :<math>\frac{{{\left( \Delta \nu \right)}_{\exp }}}{{{\left( \Delta \nu \right)}_{\text{theo}}}}=1.01\pm 0.06</math>(störende Faktoren: Relativgeschwindigkeit: Erde â Sonne termische Bewegung der Atome, Konvektion der solaren Gase) 1980 H2-Maser: <math>\frac{{{\left( \Delta \nu \right)}_{\exp }}}{{{\left( \Delta \nu \right)}_{\text{theo}}}}=1\pm {{10}^{-4}}</math> Bewegte Uhren (in Flugzeugen, Raketen und Stelliten bestĂ€tigen die allg. Beziehung zwischen <math>d\tau </math>und dt) Test des starken Ăquivalenzprinzips Roberson-Entwicklung fĂŒr <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>im schwachen Gravitationsfeld, d.h. fĂŒr <math>\frac{GM}{{{c}^{2}}r}\ll 1</math> (im Sonnenfeld<math>\approx 2\centerdot {{10}^{-6}}</math>) :<math>\begin{align} & B\left( r \right)=1-2\frac{GM}{{{c}^{2}}r}+2\left( \beta -\gamma \right){{\left( \frac{GM}{{{c}^{2}}r} \right)}^{2}}+... \\ & A\left( r \right)=1+2\gamma \frac{GM}{{{c}^{2}}r}+... \\ \end{align}</math> FĂŒr ART: <math>\beta =\gamma =1</math>fĂŒr Newton<math>\beta =\gamma =0</math>) Rotverschiebung Test fĂŒr g00 in erster NĂ€herung (diese Bedingung muss jede Theorie erfĂŒllen) Lichtablenkung, Gravitationswellen :<math>\Delta \varphi =\frac{4a}{{{r}_{0}}}\frac{1+\gamma }{2}</math> (Winkel der Lichtablenkung) Gravitationslinsen: Qusarzwillinge erwiesen sich als 2 Bilder eines Quasars, dessen Radiowellen durch eine zwischen uns und dem Quasar befindlichen (âGravitationslinseâ) Periheldrehung :<math>\Delta \varphi =\frac{6\pi a}{p}\frac{2-\beta +2\gamma }{3}</math>(Drehung pro Umlauf) Unter verwendung des aus anderen Beobachtungen gegeben <math>\gamma </math>-Wertes erhielt man 1989/90: :<math>\beta =1\pm 0.003</math> Radarecho-Effekt :<math>\delta t=\frac{4a}{c}\left[ 1+\frac{1+\gamma }{2}\ln \left( \frac{4{{r}_{E}}{{r}_{R}}}{R_{\odot }^{2}} \right) \right]</math>FĂŒr Venusreflektor <math>\gamma =1.000\pm 0.002</math> PrĂ€zession von Kreiseln Kreisel âErde-Mondâ (1988-1996) 1% genauigkeit d geod. PrĂ€zession Standford Satelliten Exp. Zur Messung der geodĂ€tischen PrĂ€zession und des Thirring-Lense Effekts: DemnĂ€chst sollen Resultat gefunden werden. Nordvedt-Effekt Abstand âErde-Mondâ-Messung liefert Doppelpulsarsystem Indirekter Nachweis der Gravitationsstrahlung am Doppelpulsarsystem PSR 1913+16 Zusammenfassung Die ART ist fĂŒr schwache Gravitationsfelder hervorragen bestĂ€tigt FĂŒr starke Felder können astrophysikalische und kosmologische Untersuchungen als Tests dienen. Vorlesung ART II Zusammenfassende Darstellung der Grundlagen der ART Hamilton Lagrange Formalismus fĂŒr Feldtheorie (Ableitung der Einsteinschen Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip) Allgemeines Schema Hamiltonsches Wirkungsprinzip :<math>\delta S=0</math>fĂŒr Euler-Variation von :<math>\delta \phi </math> der Variation von :<math> & \phi </math> wobei <math>S=\int{L\left( \phi ,\delta \phi \right)}dt</math>das Wirkungsintegral ist (L:=Lagrangefunktion) Jeweilige Symmetrieforderung (aller Arten von RelativitĂ€tsprinzipien) werden automatisch erfĂŒllt Aber beim Start mit Hamiltonfunktion (bzw. Hamiltondichte) bedarf es der speziellen PrĂŒfung Systeme mit endlichen Anzahl von Freiheitsgraden (Mechanik) Voraussetzung L enthĂ€lt nur erste Ableitung von Variablen <math>{{q}^{i}},{{\dot{q}}^{i}}</math> Geschwindigkeitsphasenraum (Konfigurationsraum q^i (Verallgemeinerte Koordinaten), Konfigurationsraum <math>{{\dot{q}}^{i}}</math>(<math>{{\dot{q}}^{i}}={{d}_{t}}{{q}^{i}}</math> verallgemeinerte Geschwindigkeiten) i=1..N (N Freiheitsgrade) Lagrange Funktion <math>L=L\left( {{q}^{i}},{{{\dot{q}}}^{i}} \right)</math>bzw. <math>L=L\left( {{q}^{i}},{{{\dot{q}}}^{i}},t \right)</math> Hamilton Prinzip: FĂŒr die Teilchenbahn ist :<math>S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)dt}</math> BezĂŒglich Euler-Variation der <math>{{q}^{i}}</math>stationĂ€r. ( :<math>\delta S=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)dt}=0</math> wobei <math>\delta {{q}^{i}}\left( {{t}_{1}} \right)=\delta {{q}^{i}}\left( {{t}_{2}} \right)=0</math> Euler-Lagrange-Gleichung (Mechanik) :<math>\frac{\delta L}{\delta {{q}^{i}}}:=\frac{\partial L}{\partial {{q}^{i}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}^{i}}}=0</math>Euler-Variation des Wirkungsintegrals ist gleich der Funktionalableitung von L. Zusatzterme der Form <math>\frac{dF\left( {{q}^{i}} \right)}{dt}</math>sind âwirkungslosâ (verĂ€ndern die resultierende Bewegungsgleichung nicht.) Also <math>L=L\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)+\frac{dF\left( {{q}^{i}},t \right)}{dt}</math> sind hinsichtlich Euler-Variation Ă€quivalent zu L: Warum? :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{{L}'\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)dt}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)dt}+F\left( {{q}^{i}},{{t}_{1}} \right)-F\left( {{q}^{i}},{{t}_{2}} \right)</math> so daĂ wegen <math>\delta {{q}^{i}}\left( {{t}_{1}} \right)=\delta {{q}^{i}}\left( {{t}_{2}} \right)=0</math>gilt :<math>\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{{L}'\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)dt}=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)dt}</math> . FĂŒr den Fall, dass L auch von der 2. Ableitung abhĂ€ngt muss man fordern, dass <math>\delta {{q}^{i}}\left( {{t}_{1}} \right)=\delta {{q}^{i}}\left( {{t}_{2}} \right)=0</math>und <math>\delta {{\dot{q}}^{i}}\left( {{t}_{1}} \right)=\delta {{\dot{q}}^{i}}\left( {{t}_{2}} \right)=0</math>Dann sind <math>L=L\left( {{q}^{i}},{{{\dot{q}}}^{i}},{{{\ddot{q}}}^{i}},t \right)</math>, <math>{L}'=L+\frac{dF}{dt}</math>mit <math>F=F\left( {{q}^{i}},{{{\dot{q}}}^{i}},{{{\ddot{q}}}^{i}} \right)</math>Euler-Ăquivalent Systeme mit einer kontinuierlichen unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden (klassische Feldtheorie) (Canonical Gravity: From Classical to Quantum, J. Ekler, H Fredrich (eds. Springer 1994) (A.Wipf) Tabelle 1 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie :<math>{{q}^{i}}\left( t \right)=q\left( t,i \right)</math>(Endliche Anzahl an Freiheitsgraden) <math>\varphi \left( t,{{x}^{b}},a \right)={{\varphi }^{a}}\left( t,{{x}^{b}} \right)={{\varphi }^{a}}\left( {{x}^{\alpha }} \right)</math>kontinuierliche und endliche Freiheitsgrade (a)) (z.B. elektrodynamisches Potential <math>{{A}^{\mu }}</math>oder skalares Potential <math>\varphi </math>) :<math>{{\dot{q}}^{i}}</math> <math>{{\dot{\varphi }}^{a}}\left( {{x}^{\alpha }} \right)</math> Weitere Ăbersetzungen (Math. Operationen, âŠ) Tabelle 2 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie :<math>\sum\limits_{i}{{{{\dot{q}}}^{i}}{{{\dot{q}}}^{i}}}</math> <math>\sum\limits_{\alpha }{{{{\dot{\varphi }}}^{a}}\left( {{x}^{\mu }} \right){{{\dot{\varphi }}}^{a}}\left( {{x}^{\mu }} \right){{d}^{4}}x}</math> :<math>F\left( {{q}^{i}},{{{\dot{q}}}^{i}} \right)</math> <math>F\left( {{\varphi }^{a}}\left( {{x}^{\alpha }} \right),{{{\dot{\varphi }}}^{a}}\left( {{x}^{\alpha }} \right) \right)</math> :<math>\frac{\partial f}{\partial {{q}^{i}}}</math> <math>\frac{\delta F}{\delta {{\varphi }^{a}}\left( {{x}^{\mu }} \right)}</math> (Der Konfigurationsraum muss entsprechend oft genug differenzierbar sein.) Lagrangian und Wirkungsintegral ⊠Hamiltonsches Prinzip Tabelle 3 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie :<math>L\left( {{q}^{i}},{{{\dot{q}}}^{i}} \right)</math> <math>L=\int\limits_{{{V}^{3}}}{\mathcal{L}\left( {{\varphi }^{a}},{{{\dot{\varphi }}}^{a}},{{\partial }_{k}}\varphi ,t \right){{d}^{3}}x}</math><math>\mathcal{L}</math>= Lagrangedichte (lokale Feldtheorie) :<math>S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)dt}</math> :<math>S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{Ldt}=\int\limits_{{{V}^{4}}}{\mathcal{L}\left( {{\varphi }^{a}},{{{\dot{\varphi }}}^{a}},{{\partial }_{k}}\varphi ,t \right){{d}^{3}}xdt}</math> :<math>\delta S=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( {{{\dot{q}}}^{i}},{{q}^{i}} \right)dt}=0</math> :<math>\delta S=\delta \int\limits_{{{V}^{4}}}{\mathcal{L}{{d}^{4}}x}=0</math> :<math>\delta {{q}^{i}}\left( {{t}_{1}} \right)=\delta {{q}^{i}}\left( {{t}_{2}} \right)=0</math> <math>\partial \varphi {{|}_{\partial {{V}^{4}}}}=0</math> Lagrange Dynamik bzw. ELG der freien Teilchen Tabelle 4 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie :<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}^{i}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}^{i}}}=0</math> <math>{{\partial }_{\mu }}\left( \frac{\partial L}{{{\partial }_{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}{{\varphi }^{a}} \right)} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{\varphi }^{a}}}</math> Ableitung der Einsteinschen Gleichungen durch Variation nach g Vorbemerkung zu Integralen im Riemannschen Raum: Integrale können nur ĂŒberskalare Dichten <math>\rho </math>gebildet werden. Alle andere wĂ€re sinnlos Also: :<math>\rho :\rho '=\left| \frac{\partial x}{\partial x'} \right|\rho </math>(Allgemeine Definition) :<math>\int{\rho {{d}^{4}}x}:=\int{\int{\int{\int{\rho d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}}}}}}</math> Denn: Es kommen nur skalare (âindexfreieâ) Objekte als Integrand in Frage Es dĂŒrfen keine gemeinsamen Skalare sein, da <math>{{d}^{4}}x'=\left| \frac{\partial x'}{\partial x} \right|{{d}^{4}}x</math> Also <math>\int{\rho '{{d}^{4}}x'}=\int{\rho {{d}^{4}}x}=\text{Skalar}</math> Man kann skalare Dichte immer aus Skalar duch Multiplikation mit <math>\sqrt{-g}</math> erhalten, weil <math>\sqrt{-g'}=\left| \frac{\partial x}{\partial x'} \right|\sqrt{-g}</math> GauĂscher Satz gilt nur fĂŒr skalare Dichten z.B. <math>{{J}^{\alpha }}_{;\alpha }\sqrt{-g}</math>nicht aber fĂŒr <math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;}}_{\alpha }\sqrt{-g}</math>. Einstein Gleichungen Einstein Hilbertsches Wirkungsintegral SEH :<math>{{S}_{EH}}=\int\limits_{{{V}_{4}}}{\left( R+2\kappa {{L}_{Mat}} \right)\sqrt{-g}{{d}^{4}}x}</math> Mit :<math>{{L}_{Mat}}</math> = kovariant geschriebene Lagrangefunktion fĂŒr die das Gravitationspotential <math>{{g}_{\mu \nu }}</math>erzeugenden Terme Einsteinsches Wirkungsintegral SE :<math>\begin{align} & R=\frac{1}{\sqrt{-g}}{{\left[ \sqrt{-g}\left( -{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu } \right) \right]}_{,\alpha }}+{{L}_{E}}\left( g,\Gamma \right) \\ & {{L}_{E}}={{g}^{\mu }}^{\nu }\left( \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta } \right) \\ & {{S}_{EH}}=\int\limits_{{{V}_{4}}}{\left( {{L}_{E}}+2\kappa {{L}_{Mat}} \right)\sqrt{-g}{{d}^{4}}x}+\int\limits_{{{V}_{4}}}{\frac{1}{\sqrt{-g}}{{\left[ \sqrt{-g}\left( -{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu } \right) \right]}_{,\alpha }}\sqrt{-g}{{d}^{4}}x} \\ \end{align}</math> Der Term :<math>\int\limits_{{{V}_{4}}}{\frac{1}{\sqrt{-g}}{{\left[ \sqrt{-g}\left( -{{g}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }+{{g}^{\mu }}^{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\nu } \right) \right]}_{,\alpha }}\sqrt{-g}{{d}^{4}}x}</math> liefert keinen Betrag zu <math>\delta S</math>da es sich beim Integranden um enie Divergenz <math>{{\partial }_{\nu }}{{K}^{\nu }}</math>handelt (s.o.). :<math>\delta {{S}_{EH}}=\delta {{S}_{E}}=0\Rightarrow {{R}_{\mu }}_{\nu }-\frac{1}{2}{{g}_{\mu \nu }}R=\kappa {{T}_{\mu }}_{\nu }</math>mit <math>{{T}_{\mu }}_{\nu }:=\frac{2}{\sqrt{g}}\frac{\delta \left( \sqrt{-g}{{L}_{Mat}} \right)}{\delta {{g}^{\mu }}^{\nu }}</math> Ableitung der Einsteinschen Vakuum-Gleichungen mittels der Palatini-Variation (von Einstein âgemischteâ und von Wegl âneutraleâVariation genannt) Im Riemannschen Raum gilt<math>{{g}_{\mu \nu }}{{_{;}}_{\rho }}=0\underset{\Gamma _{\left[ \mu \nu \right]}^{\alpha }=0}{\longleftrightarrow}\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }=\left\{ _{\mu \nu }^{\alpha } \right\}</math>Daher ist dann nur die obrige metrische Variation möglich. Nehmen wir an, dass man in einem Raum ist, der durch eine Metrik <math>{{g}^{\mu }}^{\nu }</math>und eine symmetrische Konnerktion <math>\Gamma </math>charakterisiert ist. Dann kann man nach g und lâ variieren. Resultat:<math>\int{R\sqrt{-g}{{d}^{4}}x}={{L}_{G}}</math> Variation von :<math>{{L}_{G}}</math> nach <math>\Gamma </math>zu: :<math>{{g}_{\mu \nu }}{{_{;}}_{\rho }}=0\to \text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r }\Gamma _{\left[ \mu \nu \right]}^{\alpha }=0\text{ gilt }\Gamma \text{=}\left\{ {} \right\}</math> Damit fĂŒhrt Variation von :<math>{{L}_{G}}</math> nach <math>{{g}^{\mu }}^{\nu }</math>zu :<math>{{R}_{\mu }}_{\nu }=0</math> ErhaltungssĂ€tze und Bewegungsgleichungen in der ART Spezielle RelativitĂ€tstheorie Es gilt Energie-Impuls-Erhaltung :<math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,}}_{\beta }=0\Rightarrow {{p}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\int\limits_{{{V}^{3}}}{{{T}^{\alpha }}^{0}{{d}^{3}}x}=\text{const}</math> ART :<math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{,\beta }}=0\xrightarrow[\text{ }\!\!\ddot{\mathrm{A}}\!\!\text{ quivalenzprinzip}]{}{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0</math> :<math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0\Rightarrow {{\left( \sqrt{-g}{{T}^{\alpha }}^{\beta } \right)}_{,\beta }}=-\sqrt{-g}{{T}^{\mu }}^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\ne 0</math>ï keine Energie Impuls Erhaltung In der ART sind die Gleichungen <math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{;\beta }}=0</math>keine Energie Impuls ErhaltungssĂ€tze sondern Bewegungsgleichungen. Beispiel Ideale FlĂŒssigkeit: :<math>\begin{align} & {{\left[ \frac{\mu +p}{{{c}^{2}}}{{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}-p{{g}^{\alpha }}^{\beta } \right]}_{;}}_{\beta }=0\Rightarrow \left( \frac{\mu +p}{{{c}^{2}}} \right){{u}^{\alpha }}{{_{\mathrm{;}}}_{\beta }}{{u}^{\beta }}=\underbrace{\left( {{g}^{\alpha }}^{\beta }-\frac{1}{{{c}^{2}}}{{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }} \right)}_{{{h}^{\alpha }}^{\beta }}{{p}_{;}}_{\beta } \\ & \xrightarrow{{{g}^{\alpha }}^{\beta }{{p}_{\mathrm{;}}}_{\beta }=0}{{u}^{\alpha }}{{_{\mathrm{;}}}_{\beta }}{{u}^{\beta }}=0 \\ \end{align}</math> Die kovariante Herleitung und Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: SRT ART :<math>{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{\mathrm{;}}}_{\alpha }=0\to \int\limits_{{{V}_{4}}}{{{T}^{\alpha }}{{^{\beta }}_{\mathrm{;}}}_{\beta }{{d}^{4}}x=0}</math> Hier bricht die Argumentationskette aber ab, da fĂŒr Tensorfelder 2ter und höherer Stufe im Riemannschen Raum kein GauĂscher Satz gilt. Es folgt also kein integraler Erhaltungssatz. Es existieren Killing Vektoren<math>{{\xi }_{\mu }}</math>:<math>{{\xi }_{\mu }}{{_{\mathrm{;}}}_{\nu }}+{{\xi }_{\nu }}{{_{\mathrm{;}}}_{\mu }}=0</math> :<math>{{\left( {{\xi }_{\nu }}{{T}^{\mu }}^{\nu } \right)}_{\mathrm{;}}}_{\mu }</math>ist die Divergenz eines Tensors 1. Stufe fĂŒr den der GauĂsche Satz gilt <math>{{\left( {{\xi }_{\nu }}{{T}^{\mu }}^{\nu } \right)}_{\mathrm{;}}}_{\mu }=\underbrace{{{\xi }_{\nu }}{{_{\mathrm{;}}}_{\mu }}{{T}^{\mu }}^{\nu }}_{=0}+\underbrace{{{\xi }_{\nu }}{{T}^{\mu }}{{^{\nu }}_{\mathrm{;}}}_{\mu }}_{=0}=0</math> :<math>\to \int\limits_{{{x}^{0}}=\text{const}}{{{\xi }_{\nu }}{{T}^{\mu }}^{\nu }d{{f}^{\mu }}}=\int\limits_{{{x}^{0}}=\text{const}}{{{\xi }_{\nu }}{{T}^{0}}^{\nu }{{d}^{3}}x}=\text{const}</math> Im ĂŒbrigen gilt :<math>\begin{align} & {{T}^{\alpha }}{{_{\mathrm{;}}}_{\alpha }}=\frac{1}{\sqrt{-g}}{{\left( \sqrt{-g}{{T}^{\alpha }} \right)}_{\mathrm{,}}}_{\alpha } \\ & \Rightarrow \int\limits_{{{V}_{4}}}{{{\left( \sqrt{-g}{{T}^{\alpha }} \right)}_{\mathrm{,}}}_{\alpha }{{d}^{4}}x}=\int\limits_{\partial {{V}_{4}}}{\left( \sqrt{-g}{{T}^{\alpha }} \right)d{{f}_{\alpha }}} \\ & \left( {{T}^{\alpha }}:={{\xi }_{\beta }}{{T}^{\alpha }}^{\beta } \right) \\ \end{align}</math> Lineare NĂ€herung der Feldgleichungen Vorbemerkungen (Elektrodynamik) Elektrodynamik: 4 algebraisch unabhĂ€ngige Gleichungen 1 DifferentialidentitĂ€t ïš 4-1=3 funktional unabhĂ€ngige Gleichungen fĂŒr 4-1=3 Feldfreiheitsgrade (wegen Eichfreiheit <math>{{A}^{\alpha }}\to {{A}^{\alpha }}+{{d}^{\alpha }}\chi </math> ART 10 algebraisch unabhĂ€ngige Gleichungen <math>{{R}^{\mu }}^{\nu }-\frac{1}{2}{{g}^{\mu }}^{\nu }R=-\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}{{T}_{\mu }}_{\nu }</math> 4 DifferentialidentitĂ€ten ïš 10-4=6 funktional unabhĂ€ngige Gleichungen fĂŒr 10-4=6 Feldfreiheitsgrade (wegen Koordinatenkovarianz <math>{{x}^{\mu }}\to x{{'}^{\mu }}</math>) Beispiele <math>diag\left( 1;-1;-1;-1 \right)\text{ und diag}\left( 1;-1;-{{r}^{2}};-{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta \right)</math>sind Lösungen der Gleichungen <math>{{R}_{\mu }}_{\nu }=0</math> Gravitationsstrahlung Gravitationswellen (ebene Wellen) Lösungen der Wellengleichung <math>\square {{h}_{\mu }}_{\nu }=0</math> Wieder zum Vergleich: Elektrodynamik <math>\square {{A}^{\alpha }}=0</math>Feldgleichungen <math>{{A}^{\alpha }}{{_{\mathrm{,}}}_{\alpha }}=0</math>Eichbedingungen <math>{{A}^{0}}=0</math>(1 Zusatzbedingung, die im Vakuumfall wegen der Invarianz der Feldgleichungen bezĂŒglich <math>{{A}^{\alpha }}\to {{A}^{\alpha }}+{{\partial }^{\alpha }}\chi </math> mit <math>\square \chi =0</math>möglich ist Daraus folgt dass nur 2 unabhĂ€ngige Felder (bzw. Feldfreiheitsgrade) existieren Ansatz: Ebene Wellen :<math>{{A}^{\alpha }}={{e}^{\alpha }}\exp \left( -{{k}_{\beta }}{{x}^{\beta }} \right)+c.c.</math>mit <math>{{k}_{\beta }}=\left( \omega /c,{{k}^{i}} \right),\left| k \right|:=\frac{2\pi }{\lambda },{{x}^{\beta }}:=\left( ct,{{x}^{i}} \right)</math> <math>{{e}^{\alpha }}{{k}_{\alpha }}=0</math> <math>{{e}^{\alpha }}=\left( 0,{{e}^{i}} \right)</math> Also Welle in x3-Richtung :<math>\left( {{A}^{\alpha }} \right)=\left( \underbrace{0}_{\left( c \right)},{{e}^{1}},{{e}^{2}},\underbrace{0}_{\left( b \right)} \right)\exp \left( ik\left( \underbrace{{{x}^{3}}}_{\left( a \right)}-ct \right) \right)+c.c.</math> Lineareisierte ART <math>\square {{h}_{\mu }}_{\nu }=0</math>(Feldgleichungen) <math>2{{h}^{\mu }}{{_{\nu }}_{\mathrm{,}}}_{\mu }={{h}^{\mu }}{{_{\mu }}_{\mathrm{,}}}_{\nu }</math>(Eichbedingungen) 4 Zusatzbedingungen, die im Vakuumfall wegen der Invarianz der Feldgleichungen bezĂŒglich möglich sind Es exisitieren also nur 2 unabhĂ€ngige Felder Ansatz: Ebene Welle :<math>{{h}_{\mu }}_{\nu }={{e}_{\mu }}_{\nu }\exp \left[ -i{{k}_{\beta }}{{x}^{\beta }} \right]+c.c.</math> <math>2{{\eta }^{\mu }}^{\rho }{{e}_{\rho }}_{\nu }{{k}_{\mu }}={{e}_{\rho }}_{\mu }{{\eta }^{\rho }}^{\mu }{{k}_{\nu }}</math> Dazu gilt die Annahme einer Welle, die in x3-Richtung lĂ€uft <math>{{h}_{\mu }}_{\nu }={{e}_{\mu }}_{\nu }\exp \left[ ik\left( {{x}^{3}}-ct \right) \right]+c.c.</math> :<math>\left( {{h}_{\mu }}_{\nu } \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {{e}_{11}} & {{e}_{12}} & 0 \\ 0 & {{e}_{12}} & -{{e}_{11}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\exp \left[ ik\left( {{x}^{3}}-ct \right) \right]+c.c</math> Explizit sichtbar das nur 2 unabhĂ€ngige Felder nĂ€mlich e11 und e12 existieren Energie und Impuls der ebenen Wellen :<math>{{t}_{\mu }}_{\nu }=\frac{{{c}^{4}}}{8\pi G}{{k}_{\mu }}{{k}_{\nu }}\left( {{\left| {{e}_{11}} \right|}^{2}}+{{\left| {{e}_{12}} \right|}^{2}} \right)</math> Linear polarisierte Welle e11=h, e12=0 oder andersrum :<math>{{t}_{\mu }}_{\nu }=\frac{{{c}^{4}}}{8\pi G}{{k}_{\mu }}{{k}_{\nu }}{{h}^{2}}</math> Und wenn in x3-Richtung <math>\left( {{k}^{\alpha }} \right)=\left( \omega /c,0,0,\omega /c \right)</math>dann folgt daraus :<math>\begin{align} & \text{Energiestromdichte=}\frac{\text{Energie}}{\text{Zeit }\centerdot \text{Fl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ che }\left( \text{in }{{\text{x}}^{3}}Richtung \right)} \\ & ={{\Phi }_{GW}}:=c{{t}_{03}}=\frac{{{c}^{3}}}{8\pi G}{{\omega }^{2}}{{h}^{2}} \\ \end{align}</math> Quadropulstrahlung Welcher Art ist die Strahlung? Dazu Quellterme mit betrachten. Elektrodynmaik (elektromagentische Strahlung) RĂ€umlich begrenzte zeitlich periodische Ladungsverteilung :<math>{{j}_{\alpha }}\left( {{x}^{i}},t \right)={{j}_{\alpha }}\left( {{x}^{i}} \right){{e}^{-i\omega t}}+cc</math> Retardierte Potentiale: :<math>\begin{align} & {{A}_{\mu }}\left( {{x}^{i}},t \right)=\frac{1}{c}\int{{{d}^{3}}x'\frac{{{j}_{\mu }}\left( x{{'}^{i}},t-\left| x{{'}^{i}}-{{x}^{i}} \right|{{c}^{-1}} \right)}{\left| x{{'}^{i}}-{{x}^{i}} \right|}} \\ & =\frac{1}{c}\exp \left( -i\omega t \right)\int{{{d}^{3}}x'{{j}_{\mu }}\left( x{{'}^{i}} \right)\frac{\exp \left( ik\left| x{{'}^{i}}-{{x}^{i}} \right| \right)}{\left| x{{'}^{i}}-{{x}^{i}} \right|}}+cc \\ & ={{A}_{\mu }}\left( {{x}^{i}} \right)\exp \left( -i\omega t \right)+cc \end{align}</math> Frequenz der Potentiale = Frequenz der Ladungsverteilung Annahmen Betraten asymptotische Felder, d.h. nehmen an dass <math>{{r}_{0}}\ll r\Rightarrow \left| {{x}^{i}}-x{{'}^{i}} \right|=r-\frac{{{x}^{i}}{{x}_{i}}}{r}+...</math> Machen Langewellen-NĂ€herung d.h. nehmen an dass <math>{{r}_{0}}\ll \lambda </math>daraus folgt fĂŒr die rĂ€umlichen Komponenten <math>{{A}_{n}}\left( {{x}^{i}} \right)=\frac{\exp \left( ikr \right)}{cr}\int{{{d}^{3}}x'{{j}_{n}}\left( x{{'}^{i}} \right)}-\frac{\exp \left( ikr \right)}{r}\int{{{d}^{3}}x'{{j}_{n}}\left( x{{'}^{i}} \right){{k}_{j}}x{{'}^{j}}}</math> Mit der KontinuitĂ€tsgleichung folgt Kosmologische Lösungen der Einsteinschen Gleichungen Ăbersicht ĂŒber die Grundlagen der Kosmologie und die wichtigsten Weltmodelle Metagalaxis <math>R\simeq 10Lj</math> :<math>\begin{align} & {{\mathsf{M}}_{\odot }}=2\centerdot {{10}^{30}}\mathsf{kg} \\ & 1\mathsf{Lj}=9,46\centerdot {{10}^{15}}\mathsf{m} \\ & 1\mathsf{pc}=3,26\mathsf{Lj} \\ \end{align}</math> Galaxien: Galaxienhaufen: (1.5) Die ĂŒber ein Raaster von 108Lj gemittelte Materie ist homogen und isotrop verteilt. (es existiert ein homogener und isotroper Hubble-Fluss Friedmann â Roberson Walker Metrik (s. Goenner 14.1) Annomalien ĂŒber die Materie und die Metrik Kontinuumsmodell (idealesGas bzw. ideale FlĂŒssigkeit) :<math>{{T}^{\alpha }}^{\beta }=\left( \rho +\frac{p}{{{c}^{2}}} \right){{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}-P{{g}^{\alpha }}^{\beta }</math> Es existiert ein durch x0=const gezeichnetes momentanes Ruhesystem der Materie (mitbewegtes Bezugssystem) Das heiĂt <math>{{u}^{\alpha }}\left( =\delta _{0}^{\alpha } \right)\bot {{x}^{0}}=\text{const}-Fl\ddot{a}che</math> und :<math>\begin{align} & {{u}^{\alpha }}=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau }=\frac{1}{\sqrt{{{g}_{00}}}}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d{{x}^{0}}}=\frac{1}{\sqrt{{{g}_{00}}}}\delta _{0}^{\alpha } \\ & {{n}_{\alpha }}=\varphi ,\alpha =\delta _{\alpha }^{0} \\ \end{align}</math> ⊠Also :<math>d{{s}^{2}}={{g}_{00}}\left( {{x}^{0}},{{x}^{k}} \right){{c}^{2}}d{{t}^{2}}+{{g}_{ik}}\left( {{x}^{0}},{{x}^{k}} \right)d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}</math> Die Weltlinien der Materie sind zeitartige GeodĂ€ten :<math>d_{s}^{2}{{x}^{\alpha }}+\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }{{d}_{s}}{{x}^{\mu }}{{d}_{s}}{{x}^{\nu }}=0</math> (1) + (2) ï <math>{{g}_{00,i}}=0</math> Also :<math>d{{s}^{2}}={{g}_{00}}\left( {{x}^{0}} \right){{c}^{2}}d{{t}^{2}}+{{g}_{ij}}\left( {{x}^{0}},{{x}^{k}} \right)d{{x}^{i}}d{{x}^{j}}</math> (1.6) Bzw mit Koordinatentransformation <math>{{\bar{x}}^{0}}=\int_{0}^{x}{\sqrt{{{g}_{00}}\left( u \right)}du}</math> :<math>d{{s}^{2}}={{\left( d{{{\bar{x}}}^{0}} \right)}^{2}}+{{g}_{ij}}\left( {{x}^{0}},{{x}^{k}} \right)d{{x}^{i}}d{{x}^{j}}</math> (1.6) Der Hubble FluĂ der kosmischen Materie ist homogen und isotrop, d.h. das VerhĂ€ltnis der Raumschnitte <math>{{\bar{x}}^{0}}=\text{const}</math>zu verschiedene Epochen <math>{{\bar{x}}^{0}}</math> und <math>{{\bar{x}}^{0}}+d{{\bar{x}}^{0}}</math> ist nur eine Funktion der kosmischen Zeit: :<math>\begin{align} & \frac{d{{s}^{2}}{{|}_{{{{\bar{x}}}^{0}}+\delta {{{\bar{x}}}^{0}}=\text{const}}}}{d{{s}^{2}}{{|}_{{{{\bar{x}}}^{0}}=\text{const}}}}=1+\delta {{{\bar{x}}}^{0}}h\left( {{{\bar{x}}}^{0}} \right)+O\left( {{\left( \delta {{{\bar{x}}}^{0}} \right)}^{2}} \right) \\ & \Rightarrow {{g}_{ik}}\left( {{{\bar{x}}}^{0}},{{x}^{k}} \right)={{S}^{2}}\left( {{{\bar{x}}}^{0}} \right){{\gamma }_{ij}}\left( {{x}^{k}} \right) \\ & \Rightarrow d{{s}^{2}}={{\left( d{{{\bar{x}}}^{0}} \right)}^{2}}+{{S}^{2}}\left( {{{\bar{x}}}^{0}} \right){{\gamma }_{ij}}\left( {{x}^{k}} \right) \\ \end{align}</math> Kosmologisches Prinzip: In unserer Epoche ist kein Ort im Raumschnitt <math>{{\bar{x}}^{0}}=\text{const}</math>vor einem anderen ausgezeichnet, d.h. der 3Dimensionale Ortsraum ist homogen und isotrop. Daraus folgt Beispiel k=+1 S3:<math>{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{w}^{2}}=1</math>(EinheitsspĂ€hre) Durch Einbettung in einen 4-dimensionalen euklidischen Raum mit dem Linienelement <math>d{{\sigma }^{4}}=d{{x}^{2}}+d{{y}^{2}}+d{{z}^{2}}+d{{\omega }^{2}}</math>und geeigneten Koordinaten erhĂ€lt man
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