Latest revision |
Your text |
Line 1: |
Line 1: |
| ==klassische Mechanik== | | ==klassische Mechanik== |
| * Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik | | * Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik |
| → gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten
| | --> gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten |
| * Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen | | * Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen |
| * Lösungen Trajektorien im Phasenraum | | * Lösungen Trajektorien im Phasenraum |
| ==Satz von Liouville== | | ==Satz von Liouville== |
| Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung | | Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung |
| → gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen
| | --> gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen |
| → Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math>
| | --> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math> |
| ==Zustand== | | ==Zustand== |
| :<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}</math>
| | <math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}</math> |
| (thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen | | (thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen |
| :<math>\rho \left( \xi \right)=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right) \right)={{z}^{-1}}\exp \left( -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right) \right)</math> mit <math>z={{\operatorname{e}}^{-\psi }}=\int{{{e}^{-{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}}d\xi }</math>
| | <math>\rho \left( \xi \right)=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right) \right)={{z}^{-1}}\exp \left( -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right) \right)</math> |
| | mit |
| | <math>z={{\operatorname{e}}^{-\psi }}=\int{{{e}^{-{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}}d\xi }</math> |
| ==Shannon-Information== | | ==Shannon-Information== |
| *<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}} \le 0</math> | | *<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}} \le 0</math> |
| *Information: Welches Ereignis tritt ein? | | *Information: Welches Ereignis tritt ein? |
| *Wie viel weiß ich von meinem System? | | *Wie viel weiß ich von meinem System? |
| *'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> → schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math> | | *'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> --> schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math> |
| ===minimum=== | | ===minimum=== |
| *Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math> | | *Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math> |
Line 22: |
Line 24: |
| mit 1 Nebendbedingung <math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math> führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters<math>\lambda</math> zu | | mit 1 Nebendbedingung <math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math> führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters<math>\lambda</math> zu |
|
| |
|
| :<math>I\left( P \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}+\lambda \left( {{P}_{i}}-1 \right)}</math>
| | <math>I\left( P \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}+\lambda \left( {{P}_{i}}-1 \right)}</math> |
|
| |
|
| die Variation, also <math>\delta I\left( P \right)=\sum{\left( \ln {{P}_{i}}+1 \right)\delta {{P}_{i}}}</math> | | die Variation, also <math>\delta I\left( P \right)=\sum{\left( \ln {{P}_{i}}+1 \right)\delta {{P}_{i}}}</math> |
Line 28: |
Line 30: |
| lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen | | lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen |
|
| |
|
| :<math>\left( \ln {{P}_{i}} \right)=- \left( \lambda +1 \right)=\text{const.}</math>
| | <math>\left( \ln {{P}_{i}} \right)=- \left( \lambda +1 \right)=\text{const.}</math> |
|
| |
|
| so erhält man wegen der Normierung (<math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math>) die | | so erhält man wegen der Normierung (<math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math>) die |
Line 56: |
Line 58: |
| ==Fundamentalbeziehung== | | ==Fundamentalbeziehung== |
| *durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda \right)</math> | | *durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda \right)</math> |
| :<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln \exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)}=\psi \underbrace{\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}}_{1}-{{\lambda }_{\nu }}\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}M_{i}^{\nu }}=\psi -{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
| | <math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln \exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)}=\psi \underbrace{\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}}_{1}-{{\lambda }_{\nu }}\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}M_{i}^{\nu }}=\psi -{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math> |
| * extensive Parameter <math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle | | * extensive Parameter <math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle |
| ={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\psi \left( {{\lambda }_{\nu }} \right) | | ={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\psi \left( {{\lambda }_{\nu }} \right) |
| ={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\left( -\ln \sum{\exp \left( -{{\lambda }_{\mu }}M_{i}^{\mu } \right)} \right)</math> | | ={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\left( -\ln \sum{\exp \left( -{{\lambda }_{\mu }}M_{i}^{\mu } \right)} \right)</math> |
| * intensive Parameter <math>{{\lambda }_{\nu }}=-{{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}I</math> | | * intensive Parameter <math>{{\lambda }_{\nu }}=-{{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}I</math> |
| :<math>\to dI=-{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
| |
| ==Beziehungen==
| |
| *<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=Tr\left( \hat{\rho }\ln \hat{\rho } \right)</math>
| |
| * Verknüpfung mit phänomenologischer Statistik
| |
| ** Entropie = fehlende Kenntnis
| |
| ** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)</math>
| |
| ** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, → kann Entropie (S) nicht abnehmen
| |
| ** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math>
| |
| ** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
| |
| * Gibbssche Fundamentalgleichung <math>dS=k{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =k\left( \beta dU+\frac{\beta }{p}dV-\frac{S}{\mu }dN \right)</math>
| |
| ==Kullback-Information==
| |
| * Informationsgewinn <math>K\left( P,P' \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln \frac{{{P}_{i}}}{{{P}_{i}}'}} \ge 0</math>
| |
| * Minium Variation mit NB:
| |
| ** <math>1=\sum{{{P}_{i}}}</math>
| |
| ** <math>{{P}_{i}}={{P}_{i}}'\Rightarrow K=0</math> (kein Gewinn)
| |
| * Informationsgewinn ^= Änderung der Shannon Information
| |
| * Mit Dichtematrix <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \frac{{\hat{\rho }}}{{{{\hat{\rho }}}^{0}}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right) \right)=I\left( {\hat{\rho }} \right)-I\left( {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)-\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }-{{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)\ln \left( {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)</math>
| |
| * Für Druckensemble <math>{{{\hat{\rho }}}^{0}}=\exp \left( {{\psi }^{0}}-{{\beta }^{0}}\left( H+{{p}^{0}}V \right) \right)</math> und <math>\rho</math> nicht im Gleichgewichtszustand folgt <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{S-{{S}^{0}}}{{{T}^{0}}}+\frac{U-{{U}^{0}}+{{p}^{0}}\left( V-{{V}^{0}} \right)}{k{{T}^{0}}}</math>
| |
| * mit Energie <math>\Lambda</math> <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math>
| |
| * der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math>
| |
| * → die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math>
| |
| ==Situation in der QM==
| |
| * Microzustände <math>\left| \psi \right\rangle \in \mathcal{H}</math>
| |
| * Microobservablen (durch Maximalmessung (Satz von vertauschbaren Observabelen)) Operator <math>{\hat{\mathcal{M}}}</math>
| |
| * Messert Eigenwert zum Eingenzustand <math>{{{\hat{M}}}_{\alpha }}\left| \psi \right\rangle ={{m}_{\alpha }}\left| \psi \right\rangle </math>
| |
| * Erwartungwert
| |
| ** für reine Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle \psi \left| {{M}_{\alpha }} \right|\psi \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\left| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right|</math>
| |
| ** für gemischte Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\sum{{{P}_{i}}\left\langle \psi \left| {{M}_{\alpha }} \right|\psi \right\rangle }=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\sum{{{P}_{i}}\left| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right|}</math>
| |
| *vorurteilsfreie Schätzung <math>\left| \alpha \right\rangle </math> durch Maximalmessung
| |
| *<math>\operatorname{Tr}\hat{\rho }=1</math>
| |
| *<math>\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}^{\nu }} \right)=\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
| |
| *<math>\Rightarrow \hat{\rho }=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)</math>
| |
| ==Phänomenologische Thermodynamik==
| |
| ===1. Hauptsatz===
| |
| *Energieerhaltungssatz
| |
| *<math>dU=\delta Q+\delta Q=TdS-pdV</math>
| |
| * vgl Gibsche Fundamentalrelation
| |
| ===2. Hauptsatz===
| |
| * Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden
| |
| *<math>\delta S\ge \frac{\delta Q}{T}</math>
| |
|
| |
|
| [[Kategorie:Thermodynamik]] | | [[Kategorie:Thermodynamik]] |