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Gleichgewichtsbedingungen
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===b) Dampfdruck von Tröpfchen!=== Bisher: ebene Phasengrenzfläche jetzt: gekrümmte Phasengrenzfläche → zusätzliche Arbeit <math>\delta W=\sigma d\omega </math> bei Vergrößerung der Oberfläche <math>\omega </math> über die Oberflächenspannung <math>\sigma </math> Kugelförmiges Tröpfchen: :<math>\begin{align} & d\omega =d\left( 4\pi {{r}^{2}} \right)=8\pi rdr \\ & dV\acute{\ }=4\pi {{r}^{2}}dr \\ & \Rightarrow d\omega =\frac{2}{r}dV\acute{\ } \\ \end{align}</math> Also ist die geleistete Arbeit bei der Volumenänderung der Flüssigkeit (dV´): :<math>=\sigma \frac{2}{r}dV\acute{\ }</math> und insgesamt mit der Druckarbeit: :<math>\delta W=-p\acute{\ }dV\acute{\ }-p\acute{\ }\acute{\ }dV\acute{\ }\acute{\ }+\sigma \frac{2}{r}dV\acute{\ }</math> :<math>\Sigma </math> sei der Dampf und die Tröpfchen. Diese seien in ein Gefäß mit festem Volumen V eingeschlossen. Isochorer / isothermer Prozess → Minimum der freien Energie F: F(T,V)= Minimal im Gleichgewicht! :<math>\begin{align} & dV\acute{\ }+dV\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ & dF=d\left( U-TS \right)=dU-TdS \\ \end{align}</math> (zulässige Abweichung vom Gleichgewicht = Volumenerhaltung!) mit Gibbs Fundamentalrelation: :<math>dF=d\left( U-TS \right)=dU-TdS=!=\delta W=\left( p\acute{\ }\acute{\ }-p\acute{\ }+\frac{2}{r}\sigma \right)dV\acute{\ }=!=0</math> F im Minimum!!! Also: :<math>p\acute{\ }=\left( p\acute{\ }\acute{\ }+\frac{2}{r}\sigma \right)</math> Der Druck im Inneren des Tröpfchens p´ ist höher als außen im Dampf p´´=P(T) und zwar mit dem Inversen des Radius! Kleinere Tröpfchen haben also höheren Innendruck als Größere! Also: ein kleiner Luftballon bläst einen größeren auf!, p1 > p2 {{Bem|'''Nebenbemerkung''' Der intensive Parameter p ist im Gleichgewicht zwischen Tröpfchen und Dampf '''nicht gleich''', da p und Oberflächenspannung <math>\sigma </math> nicht unabhängig sind!}} Wir haben bisher den Druck im '''inneren''' eines Tröpfchens ausgerechnet, suchen jedoch den Dampfdruck der Tröpfchensuppe : P(T,r): :<math>P\left( T,r \right)</math> dabei sind jetzt p, T vorgegeben (statt V und T): :<math>dG=\left( g\acute{\ }-g\acute{\ }\acute{\ } \right)dN\acute{\ }=!=0</math>, da G = minimal! :<math>\Rightarrow g\acute{\ }\left( T,p\acute{\ } \right)=g\acute{\ }\acute{\ }\left( T,p\acute{\ }\acute{\ } \right)</math> mit <math>p\acute{\ }=\left( P(T,r)+\frac{2}{r}\sigma \right)</math> Differenziation nach r bei festem T: :<math>\begin{align} & {{\left( \frac{\partial g\acute{\ }\left( T,p\acute{\ } \right)}{\partial p\acute{\ }} \right)}_{T}}\left[ {{\left( \frac{\partial P}{\partial r} \right)}_{T}}-\frac{2}{{{r}^{2}}}\sigma \right]={{\left( \frac{\partial g\acute{\ }\acute{\ }}{\partial p\acute{\ }\acute{\ }} \right)}_{T}}{{\left( \frac{\partial P}{\partial r} \right)}_{T}} \\ & \left( \frac{\partial g\acute{\ }\acute{\ }}{\partial p\acute{\ }\acute{\ }} \right)=v\acute{\ }\acute{\ } \\ & \left( \frac{\partial g\acute{\ }\left( T,p\acute{\ } \right)}{\partial p\acute{\ }} \right)=v\acute{\ } \\ & \Rightarrow {{\left( \frac{\partial P}{\partial r} \right)}_{T}}=-\frac{2}{{{r}^{2}}}\sigma \frac{v\acute{\ }}{v\acute{\ }\acute{\ }-v\acute{\ }}\approx -\frac{2}{{{r}^{2}}}\sigma \frac{v\acute{\ }}{v\acute{\ }\acute{\ }}=idGas=-\frac{2\sigma v\acute{\ }}{R{{\operatorname{Tr}}^{2}}}P \\ & \Rightarrow \ln \frac{P}{{{P}_{\infty }}}=\frac{2\sigma v\acute{\ }}{R\operatorname{Tr}} \\ & P={{P}_{\infty }}(T)\exp \frac{2\sigma v\acute{\ }}{R\operatorname{Tr}} \\ \end{align}</math> Als Dampfdruck eines Tröpfchens (entsprechend der Gleichgewichtsbedingung)! Das heißt: Für vorgegebenen Außendruck Po existiert ein Radius ro, so dass für r>ro das Tröpfchen anwächst ({{FB|Kondensation}}) r<ro das Tröpfchen kleiner wird ({{FB|evaporiert}}) Dabei: <math>{{r}_{0}}=\frac{2\sigma v\acute{\ }}{RT\ln \frac{{{P}_{0}}}{{{P}_{\infty }}}}</math> ist der zum Außendruck Po gehörende KRITISCHE TRÖPFCHENRADIUS (instabil)
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