Editing Reale Gase (section)

====Van der Waals- Gleichung in reduzierten Variablen  (dimensionslos):====

:<math>\begin{align}

& \tilde{v}=\frac{v}{{{v}_{c}}} \\

& \tilde{p}=\frac{p}{{{p}_{c}}} \\

& \tilde{t}=\frac{T}{{{T}_{c}}} \\

& \Rightarrow \left( \tilde{p}+\frac{3}{{{{\tilde{v}}}^{2}}} \right)\left( \tilde{v}-\frac{1}{3} \right)=\frac{8}{3}\tilde{t} \\

\end{align}</math>

bzw.

:<math>\tilde{p}{{\tilde{v}}^{3}}-{{\tilde{v}}^{2}}\frac{1}{3}\left( 8\tilde{t}+\tilde{p} \right)+3\tilde{v}-1=0</math>

Kritischer Punkt folgt dann für die Lösung mit <math>\tilde{v}=\tilde{p}=\tilde{t}=1</math>
.


'''Allgemein '''auf der Stabilitätsgrenze:

:<math>\begin{align}

& {{\kappa }_{T}}=-\frac{1}{v}{{\left( \frac{\partial v}{\partial p} \right)}_{T}}\tilde{\ }\frac{1}{{{\left( \frac{\partial p}{\partial v} \right)}_{T}}}=\infty  \\

& \alpha =\frac{1}{v}{{\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)}_{p}}=-\frac{{{\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)}_{v}}}{v{{\left( \frac{\partial p}{\partial v} \right)}_{T}}}=\infty  \\

& {{c}_{p}}={{c}_{v}}+T{{\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)}_{v}}{{\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)}_{p}}=\infty  \\

& {{\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)}_{p}}\to \infty  \\

\end{align}</math>

Dabei wurde verwendet, dass ganz allgemein gilt für:

:<math>z(x,y):dz={{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}_{y}}dx+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}_{x}}dy</math>

falls diese Funktion nun konstant ist:

:<math>\begin{align}

& z(x,y)=const. \\

& \Rightarrow dz=0={{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}_{y}}dx+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}_{x}}dy \\

& \Rightarrow {{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}_{y}}dx=-{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}_{x}}dy\Rightarrow {{\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)}_{z}}=-\frac{{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}_{y}}}{{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}_{x}}} \\

\end{align}</math>

'''Bemerkung'''

Das singuläre kritische verhalten kann durch '''kritische Exponenten ''' beschrieben werden:

:<math>\begin{align}

& {{c}_{v}}\tilde{\ }{{{\hat{t}}}^{-\alpha }} \\

& \Delta \rho \tilde{\ }{{{\hat{t}}}^{\beta }} \\

& {{\kappa }_{T}}\tilde{\ }{{{\hat{t}}}^{-\gamma }} \\

& \hat{p}\tilde{\ }\Delta {{\rho }^{\delta }} \\

& \hat{t}:=\tilde{t}-1 \\

& \hat{p}:=\tilde{p}-1 \\

& \hat{v}:=\tilde{v}-1 \\

& \Delta \rho :={{\rho }^{fl\ddot{u}ssig}}-{{\rho }^{gas}} \\

\end{align}</math>

'''Nach dem Fluktuations- / Dissipationstheorem  (§ 1.3, S. 27)'''

gilt:

:<math>\left\langle {{\left( \Delta M \right)}^{2}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle M \right\rangle }{\partial \lambda }</math>

also für das Druckensemble <math>M=V,\lambda =\frac{p}{kT}</math>

:<math>\left\langle {{\left( \Delta V \right)}^{2}} \right\rangle =-kT{{\left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)}_{T}}=kTV{{\kappa }_{T}}\to \infty </math>

Das heißt:

Die Volumen- und Dichteschwankungen divergieren am kritischen Punkt!

* man spricht von kritischer Opaleszenz!
* (stark wachsende Lichtstreuung wegen der Schwankung des optischen Brechungsindex infolge der Dichteschwankungen)

'''Verletzung der Stabilitätsbedingung →  Phasenübergang!!'''