Editing Formaler Aufbau der Quantenmechanik (section)

===Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR===
Die meisten Fälle mit zeitabhängigem <math>\hat{H}\left( t \right)</math>sind exakt nicht mehr lösbar.
Hier betrachten wir
{{NumBlk|:|
:<math>\hat{H}\left( t \right)=\underline{B}\left( t \right)\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix}
{{B}_{z}}\left( t \right) & B_{||}^{*}\left( t \right)  \\
B_{||}^{*}\left( t \right) & -{{B}_{z}}\left( t \right)  \\
\end{matrix} \right)\quad {{B}_{||}}\left( t \right)={{B}_{x}}\left( t \right)+\mathfrak{i} {{B}_{y}}\left( t \right)</math>
:	 |(2.34)|RawN=.}}
zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den <math>\underline{\sigma }</math>-Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld
* Hilbertraum hier <math>{{\mathcal{H}}_{Spin}}={{\mathbb{C}}^{2}}</math>
* (2.34) einfaches Modell für Spin ½ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi  \right]\varphi </math>
*  (1.44)
mit Konstante <math>-\frac{e\hbar }{2m}\to 1</math> und Separation des Ortes (<u>x</u>) und Spin Freiheitsgrade
{{NumBlk|:|
:<math>\varphi \left( \underline{x},t \right)=\underbrace{\Psi \left( \underline{x},t \right)}_{\text{Orts-WF}}\underbrace{\left( \begin{align}
& {{\chi }_{1}}\left( t \right) \\
& {{\chi }_{2}}\left( t \right) \\
\end{align} \right)}_{\text{Spin-WF}}</math>
:	|(2.35)|RawN=.}}
in Dirac-Schreibweise
{{NumBlk|:|
:<math>\begin{align}
& \left| \varphi \left( t \right) \right\rangle \quad =\quad \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \quad \otimes \quad \left| \chi \left( t \right) \right\rangle  \\
& \mathcal{H}\quad =\quad {{\mathcal{H}}_{Ort}}\quad \otimes \quad {{\mathcal{H}}_{Spin}} \\
\end{align}</math>
:	|(2.36)|RawN=.}}
mit <math>{{\mathcal{H}}_{Ort}}={{L}^{2}}\left( {{\mathbb{R}}^{3}} \right)</math> (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>)
und <math>{{\mathcal{H}}_{Spin}}={{\mathbb{C}}^{2}}</math>.
Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)
{{NumBlk|:|	<math>\begin{align}
& \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left| \chi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left( t \right)\left| \chi \left( t \right) \right\rangle  \\
& \Leftrightarrow \begin{matrix}
\begin{align}
& \mathfrak{i} {{{\dot{\chi }}}_{1}}={{B}_{z}}{{\chi }_{1}}-B_{||}^{*}{{\chi }_{2}} \\
& \mathfrak{i} {{{\dot{\chi }}}_{2}}=B_{||}^{{}}{{\chi }_{1}}-{{B}_{z}}{{\chi }_{2}} \\
\end{align} & {}  \\
\end{matrix} \\
\end{align}</math>	|(2.37)|RawN=.}}
kann für zeitabhängige <math>{{B}_{||}},{{B}_{z}}</math> i.A. nur '''numerische''' gelöst werden.
<FONT COLOR="#3300CC">'''''AUFGABE'''''</FONT>: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird.
<u>Spezialfälle</u> von (2.37) können analytisch gelöst werden
# <math>\underline{B}=\text{const}\Rightarrow </math>quantenmechanische Ozillatoren
Eigenwerte von <math>\hat{H}</math> sind
:<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left| {\underline{B}} \right|\quad \left| {\underline{B}} \right|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left| {{B}_{||}} \right|}^{2}}}</math>
(CHECK)
à Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math>
Alternativer Lösungsweg: Ansatz
:<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math>
in   (siehe b)
# Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen
Hier
{{NumBlk|:|
:<math>\begin{align}
& {{B}_{z}}={{B}_{0}}=\text{const} \\
& {{B}_{||}}={{B}_{1}}{{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}=\underbrace{{{B}_{1}}\cos \omega t}_{{{B}_{x}}}+\mathfrak{i} \underbrace{{{B}_{1}}\sin \omega t}_{{{B}_{y}}}\quad {{B}_{1}}\in \mathbb{R} \\
\end{align}</math>
:	|(2.38)|RawN=.}}

:<math>{{B}_{||}}</math>
rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“
{{NumBlk|:|	<math>\begin{align}
& {{\chi }_{1}}={{c}_{1}}{{e}^{\mathfrak{i} zt-\mathfrak{i} \frac{\omega }{2}t}}\quad \quad \left( z+\frac{\omega }{2} \right){{c}_{1}}={{B}_{0}}{{c}_{1}}+{{B}_{1}}{{c}_{2}} \\
& {{\chi }_{2}}={{c}_{2}}{{e}^{\mathfrak{i} zt+\mathfrak{i} \frac{\omega }{2}t}}\quad \quad \left( z-\frac{\omega }{2} \right){{c}_{1}}={{B}_{1}}{{c}_{1}}-{{B}_{0}}{{c}_{2}} \\
\end{align}</math>	|(2.39)|RawN=.}}
Nichttriviale Lösung von (2.39) für
:	<math>0=\left| \begin{matrix}
z+\frac{\omega }{2}-{{B}_{0}} & -{{B}_{1}}  \\
-{{B}_{1}} & z-\frac{\omega }{2}+{{B}_{0}}  \\
\end{matrix} \right|={{z}^{2}}-{{\left( {{B}_{0}}-\frac{\omega }{2} \right)}^{2}}-B_{1}^{2}\Rightarrow {{z}_{\pm }}=\pm \sqrt{{{\left( {{B}_{0}}-\frac{\omega }{2} \right)}^{2}}+B_{1}^{2}}=\pm \frac{1}{2}{{\Omega }_{R}}</math>
:	mit
{{NumBlk|:|
:<math>{{\Omega }_{R}}:=\sqrt{{{\left( 2{{B}_{0}}-\omega  \right)}^{2}}+4B_{1}^{2}}</math>
:	|(2.40)|RawN=.}}
Damit zwei linear unabhängige Lösungen für <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math>
{{NumBlk|:|
:<math>\begin{align}
& {{\chi }_{2}}\left( t \right)={{c}_{+}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}+\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}+{{c}_{-}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}-\,\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}\quad {{c}_{\pm }}\in \mathbb{C} \\
& ={{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}\left\{ \alpha \cos \frac{{{\Omega }_{R}}}{2}+\beta \sin \frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right\}\quad \alpha ,\beta \in \mathbb{C}
\end{align}</math>
:	|(2.41)|RawN=.}}
für <math>{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> entsprechen: Koeffizienten für <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> hängen über (2.37) zusammen.
Aufgabe: 1 Fall b) lösen für <math>{{\chi }_{1}}\left( 0 \right)=0,{{\chi }_{2}}\left( 0 \right)=1</math> und diskutieren.
<references />