Editing Die Hamiltonschen Gleichungen (section)

=====Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen=====

# q1=3, q2=Phi, q3 = z
# 
:<math>\begin{align}
  & x=r\cos \phi ,\dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi  \\ 
 & y=r\sin \phi ,\dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi  \\ 
 & z=z \\ 
\end{align}</math>

# 
:<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right) \\ 
 & V=V(r,\phi ,z) \\ 
 & L=L(r,\phi ,z,\dot{r},\dot{\phi },\dot{z})=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)-V \\ 
\end{align}</math>

# Generalisierte Impulse: 
:<math>\begin{align}
  & {{p}_{k}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ 
 & {{p}_{r}}=m\dot{r} \\ 
 & {{p}_{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi } \\ 
 & {{p}_{z}}=m\dot{z} \\ 
\end{align}</math>
                                                                                             Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
# Aufstellung der Legendretrafo: 
:<math>\begin{align}
  & H=m{{{\dot{r}}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+m{{{\dot{z}}}^{2}}=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)+V \\ 
 & H=\frac{1}{2m}\left( {{p}_{r}}^{2}+\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{{{r}^{2}}}+{{p}_{z}}^{2} \right)+V(r,\phi ,z) \\ 
\end{align}</math>

# Kanonische Gleichungen: 
:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ 
 & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\ 
 & \dot{r}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{r}}}=\frac{{{p}_{r}}}{m},\dot{\phi }=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{r}^{2}}},\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{z}}}=\frac{{{p}_{z}}}{m} \\ 
 & {{{\dot{p}}}_{r}}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}-\frac{\partial V}{\partial r},{{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H}{\partial \phi }=-\frac{\partial V}{\partial \phi },{{{\dot{p}}}_{z}}=-\frac{\partial H}{\partial z}=-\frac{\partial V}{\partial z} \\ 
\end{align}</math>

Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):

F(Zentrifugal)=
:<math>\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}</math>,
 die den radialen Impuls ändert.

Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:


:<math>{{\dot{p}}_{r}}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}-\frac{\partial V}{\partial r},{{\dot{p}}_{\phi }}=0,{{\dot{p}}_{z}}=0</math>


Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.


:<math>z,\phi </math>
sind zyklische Variablen


:<math>\begin{align}
  & {{p}_{z}}=const.=o.B.d.A.=0 \\ 
 & {{p}_{\phi }}=const. \\ 
\end{align}</math>
oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene

======Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:======

 

Das System ist skleronom wegen 
:<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>,
 also folgt Energieerhaltung:  E=H=T+V


:<math>\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{q}}}^{2}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)=E=\frac{1}{2}m\left( \frac{{{p}^{2}}}{{{m}^{2}}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)\Rightarrow \frac{{{p}^{2}}}{2mE}+\frac{{{q}^{2}}}{\left( \frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}} \right)}=1</math>


Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:

Die Halbachsen sind:


:<math>a=\sqrt{2mE},b=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}</math>
(bestimmt durch 1. Integral).

Als kanonische Gleichungen ergibt sich:


:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{p}}}_{{}}}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-m{{\omega }_{o}}^{2}q \\ 
 & \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m} \\ 
\end{align}</math>


Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung 
:<math>\begin{align}
  & \ddot{q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{{\dot{p}}}{\acute{\ }m}=-{{\omega }_{o}}^{2}q \\ 
 & \ddot{q}+{{\omega }_{o}}^{2}q=0 \\ 
\end{align}</math>


Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum