Editing Stabilität und Langzeitverhalten (section)

====Summary:====



<u>'''Grenze zwischen den 5 Bereichen: '''</u>entartete Fälle:

* in diesem Fall versagt die lineare Stabilitätsanalyse völlig. Es ist nötig, höhere Terme der Taylorentwicklung um den Fixpunkt zu betrachten.

Beispiel:

'''trA=0'''

'''detA>0'''


:<math>\begin{align}
  & {{\lambda }_{1/2}}=\pm i\omega  \\
 & {{\lambda }_{1/2}}\in I \\
\end{align}</math>
 Dies kann ZENTRUM sein, also der Mittelpunkt der Phasenraumtrajektorien, die ungedämpfte Schwingungen beschreiben (energieabhängige, aber unveränderliche Ellipsen).

Dieses Zentrum ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil!

Vergleiche: ungedämpfter Oszillator.

Es kann sich aber auch um einen schwach stabilen oder instabilen Fokus handeln (der dann auch asymptotisch stabil ist)

* es sind in diesem Fall auch qualitative Änderungen im Verhalten des Flusses möglich (Bifurkationen = Verzweigungen der Lösungsmannigfaltigkeit)

'''Speziell: Hamiltonsche Vektorfelder:'''


:<math>\begin{align}
  & \dot{\bar{x}}:=J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\
 & \Leftrightarrow {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}},{{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\
\end{align}</math>


'''Linearisierung zum Fixpunkt '''
:<math>\bar{x}*</math>
:


:<math>\begin{align}
  & \delta \bar{x}:=\bar{x}-\bar{x}* \\
 & \delta \dot{\bar{x}}=A\delta \bar{x} \\
 & mit:\ \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{2f}{{{\left( \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}} \right)}_{x*}}\delta {{x}_{k}}=}\sum\limits_{k,j=1}^{2f}{\left( {{J}_{ij}}\frac{{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}} \right)\delta {{x}_{k}}} \\
 & \sum\limits_{j=1}^{2f}{{}}\left( {{J}_{ij}}\frac{{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}} \right)={{A}_{ik}} \\
\end{align}</math>



:<math>\begin{align}
  & trA=div\bar{F}=\sum\limits_{k=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)=}0 \\
 & trA=0=\sum\limits_{i=1}^{2f}{{{\lambda }_{i}}} \\
\end{align}</math>