Editing Der harmonische Oszillator (section)

=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====
Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden!
Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle  x | n \right\rangle </math>
und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>
gilt:
:<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>

:<math>\begin{align}
& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
\end{align}</math>

:<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>

Dabei gilt: <math>\begin{align}
& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
\end{align}</math>
sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten!
In  <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>
der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt.
Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz <math>a\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle =0</math>
mit <math>\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle :=\left| 0 \right\rangle </math>

Wegen <math>a\left| 0 \right\rangle =0</math>
folgt für n=0:
:<math>\begin{align}
& 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\
& \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi  \\
\end{align}</math>

Somit ergibt sich:
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
\end{align}</math>

Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in <math>\xi </math>
enthalten ist.
<u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u>
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\
& \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
\end{align}</math>

Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt!
Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
& \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
& {{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}:={{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
\end{align}</math>

Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>
als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
und <math>{{H}_{n}}</math>
bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
& \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
\end{align}</math>

Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
:<math>\begin{align}
& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\
& {{H}_{1}}(\xi )=2\xi  \\
& {{H}_{2}}(\xi )=4{{\xi }^{2}}-2 \\
& {{H}_{3}}(\xi )=2{{\xi }^{3}}-12\xi  \\
\end{align}</math>

Letztendlich bezeichnet
:<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>
die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>

Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:


Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>.

Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}</math>
das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m