Editing Das ideale Fermigas (section)

==Nichtenatartetes fermigas==

verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas!

z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich!

'''Voraussetzung:'''

:<math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math>

das heißt:

:<math>\begin{align}

& \mu <0 \\

& \eta =\frac{\mu }{kT}<0 \\

\end{align}</math>

<u>'''Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von '''</u><math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math>

:

:<math>\begin{align}

& {{F}_{s}}\left( \eta  \right)=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{{{e}^{y-\eta }}+1} \\

& =\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1+\xi {{e}^{-y}}}\approx \frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\left[ \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}-{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}+.... \right] \\

& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}=\Gamma \left( s+1 \right) \\

& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{s+1}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dz{{z}^{s}}{{e}^{-z}}=\frac{1}{{{2}^{s+1}}}\Gamma \left( s+1 \right) \\

& \Rightarrow {{F}_{s}}\left( \eta  \right)\approx \left[ \xi -{{\xi }^{2}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}}+.... \right]\approx \left[ \xi -{{\xi }^{2}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}} \right]={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}} \right] \\

\end{align}</math>

'''Dabei ist'''

:<math>{{F}_{s}}\left( \eta  \right)={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math>

das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur  <math>-{{e}^{2\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}}</math>

Also:

:<math>\bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \eta  \right)=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)</math>

mit der Entartungskonzentration

:<math>{{N}_{C}}:=\left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}</math>

Also genähert:

:<math>\bar{N}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)\approx V{{N}_{C}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}} \right]</math>

Bei vollständiger Nichtentartung:

:<math>\begin{align}

& \frac{{\bar{N}}}{V}\approx {{N}_{C}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \\

& {{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1 \\

& \frac{{\bar{N}}}{V}<<{{N}_{C}} \\

\end{align}</math>

Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101)

:<math>\begin{align}

& U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\frac{3\sqrt{\pi }}{4}{{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right) \\

& U=V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right) \\

& U\approx V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}} \right] \\

\end{align}</math>

'''Elimination von '''<math>\mu </math>

durch <math>\bar{N}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)\approx V{{N}_{C}}\xi \left[ 1-\xi {{2}^{-\frac{3}{2}}} \right]</math>

# Näherung:
:<math>\bar{N}=V{{N}_{C}}\xi </math>

# Näherung
:<math>\begin{align}

& \bar{N}=V{{N}_{C}}\xi \left[ 1-{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\

& \Rightarrow \xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\approx \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}}\left[ 1+{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\

& \Rightarrow U\approx V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}} \right]\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right]\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\

\end{align}</math>

:<math>U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math>

Dabei wurden alle Terme der Ordnung <math>{{\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)}^{2}}</math>

weggenähert!

Also:

kalorische Zustandsgleichung

:<math>U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math>

mit der Quantenkorrektur <math>O\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)</math>

:<math>\frac{3}{2}kT\bar{N}{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)}</math>

'''thermische Zustandsgleichung'''

:<math>pV=\frac{2}{3}U\approx kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math>

Also:

:<math>pv\approx RT\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)} \right]</math>

Dabei ist

:<math>pv\approx RT</math>

die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und <math>RT{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)}</math>

eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung!

'''Nebenbemerkung:'''

Mit der {{FB|thermischen Wellenlänge}} <math>\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> entsprechend der {{FB|de Broglie-Wellenlänge}} für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

E= kT also, schreibt man:

:<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math>