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Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt
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==Entropie als maximales Unschärfemaß einer Beobachtung== maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene :<math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> ist :<math>\eta \left( R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)</math> :<math>{{R}_{\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}}}\equiv R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}</math> Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene <math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> wird mit :<math>S=\eta \left( R \right)</math> definiert. Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen (Gleiverteilung hatte größtes :<math>\eta \left( R \right)</math>). Ziel der {{FB|Entropiedefinition}} ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt :<math>\left( Z=\sum\limits_{Zust\ddot{a}nde}{\ldots } \right)</math> und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc); also Zustandsgleichungen aus Z berechnen. :<math>\begin{align} & S=-k\operatorname{Tr}\left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\ln \left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right) \right) \\ & =-k\operatorname{Tr}\left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\left( -\ln Z-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}} \right) \right) \\ & =\underbrace{k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}_{f\left( {{\lambda }_{\nu }},\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right)}+\underbrace{k\ln Z}_{g\left( {{\lambda }_{\nu }},{{G}_{\nu }}\left( {{h}_{\alpha }} \right) \right)} \\ & S=S\left( \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }} \right) \end{align}</math> z.B. :<math>S=S\left( \left\langle H \right\rangle ,\left\langle N \right\rangle ,V \right)</math> ===Gibbs-Fundamentalrelation=== dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet: :<math>dS=k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{{\lambda }_{\nu }}}\left( d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{{}}\left\langle {{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}{{G}_{\nu }} \right\rangle d{{h}_{\alpha }} \right)</math> Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von :<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }}</math>[[Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt#Beweis der Gibbsgleichung|Beweis gleich]] ====Bmerkung zur Gibbsgleichung==== *<math>S=S\left( \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }} \right)</math> legt die Variblen fest *legt verallgemeinter Kräfte fest: <math>{{M}_{\nu ,\alpha }}=-\left\langle {{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}{{G}_{\nu }} \right\rangle </math> **(z.B. <math>p=-\left\langle {{\partial }_{\nu }}H \right\rangle </math>) **physikalische Interpretation <math>{{G}_{\nu }}=H,{{h}_{\alpha }}=\nu </math> bei E-Messung *Kraft.Länge/(Fäche.Länge) *Vorzeichen um <math>\Delta V < 0, p>0</math> zu haben * E im Kasten ~ <math>L^-2</math> BILD <math>\Delta E>0 \to L</math> kleiner *Bestimmung der Langrangemultiplikatorenb (physikalischer Inhalt) um von Zustandsgleichungen über Gibbsgleichung Vergleich von :<math>\begin{align} & dS=k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{{\lambda }_{\nu }}}\left( d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{{}}{{M}_{\nu ,\alpha }}d{{h}_{\alpha }} \right) \\ & dS=\sum\limits_{\nu }^{{}}{\frac{{{\partial }_{S}}}{\partial \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}\left( d\left\langle {{{\bar{G}}}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial S}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }} \right) \end{align}</math> ergibt ; {{FB|Lagrangefaktoren}} : <math>k{{\lambda }_{\nu }}=\frac{\partial S}{\partial \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }</math> ; {{FB|Zustandsgleichung}} : <math>\sum\limits_{\nu }^{{}}{k{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}}=\frac{\partial S}{\partial {{h}_{\alpha }}}</math> Gibbsgleichung legt die Zustandsgleichungen fest und ist damit genauso fundamental wie die Maxwellgleichung der Elektrodynamik z.B: <math>p=p\left( N,V,E \right)</math> ====Beweis der Gibbsgleichung==== :<math>\begin{align} & S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\ & dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\ & =k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left( -\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}\frac{1}{z} \right)+{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right)}+k\frac{dZ}{Z} \end{align}</math> mit Z arbeiten: :<math>Z=\operatorname{Tr}\left( {{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)=Z\left( {{\lambda }_{\nu }},{{h}_{\alpha }} \right)</math> :<math>{{G}_{\nu }}={{G}_{0}}\left( {{h}_{\alpha }} \right)</math> Das vollständige Differential von Z ist: :<math>dZ=\sum\limits_{\nu }{\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}d{{\lambda }_{\nu }}+}\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}</math> eingesetzt in dS: :<math>\begin{align} & S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\ & dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\ & =k\underbrace{\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}_{\begin{smallmatrix} \text{Teil der} \\ \text{Gibbsgleichung} \end{smallmatrix}}+k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}} \\ & k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}=k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\left( \frac{\partial }{\partial {{h}_{\alpha }}}{{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)d{{h}_{\alpha }}} \end{align}</math> Der Zweite Teil wird zu :<math>\begin{align} & k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}=k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\left( \frac{\partial }{\partial {{h}_{\alpha }}}{{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)d{{h}_{\alpha }}} \\ & =k\sum\limits_{\alpha }{\operatorname{Tr}\left( -\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}}\frac{\partial {{G}_{\nu }}}{\partial {{h}_{\alpha }}}R \right)d{{h}_{\alpha }}} \\ & =-k\sum\limits_{\alpha ,\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle \frac{\partial {{G}_{\nu }}}{\partial {{h}_{\alpha }}} \right\rangle d{{h}_{\alpha }}} \end{align}</math> →ergibt die Gibbsrelation __SHOWFACTBOX__
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