Editing Stark Effekt im H- Atom (section)

=== Matrixelemente des elektrischen Dipolmoments  ===


:<math>\hat{\bar{d}}=e{{\hat{x}}_{3}}</math>

mit <math>\left\langle  n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|{{\hat{x}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>

Vergleiche Seite 121:

n=n´=2
	l=0, m=0
	l=1, m=1
	l=1, m=0
	l = 1, m=-1
	<math>\alpha </math>

l´=0, m´=0
	0
	0
	<math>{{d}_{13}}</math>
	0
	1
l´=1, m´=1
	0
	0
	0
	0
	2
l´=1, m´=0
	<math>{{d}_{13}}^{*}</math>
	0
	0
	0
	3
l´=1, m´=-1
	0
	0
	0
	0
	4


Der Störoperator:

:<math>{{\hat{H}}^{(1)}}=-\left| {\bar{E}} \right|\hat{d}</math>

Wir haben also mit <math>{{d}_{13}}</math>

das einzige nichtverschwindende Matrixelement:

:<math>\begin{align}

& {{d}_{13}}=\left\langle  200 \right|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left| 210 \right\rangle  \\

& {{{\hat{x}}}_{3}}=r\cos \vartheta  \\

\end{align}</math>

:<math>\begin{align}

& {{d}_{13}}=\left\langle  200 \right|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left| 210 \right\rangle  \\

& =e\int_{0}^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r{{r}^{2}}\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}}r\frac{1}{\sqrt{3}{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}{{a}_{0}}}r{{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}}\int_{0}^{2\pi }{d\phi \int_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta \sqrt{\frac{1}{4\pi }}\cos \vartheta \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta }} \\

& \frac{{{u}_{20}}(r)}{r}=\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}} \\

& \frac{{{u}_{21}}(r)}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}{{a}_{0}}}r{{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}} \\

& \sqrt{\frac{1}{4\pi }}={{Y}_{0}}^{0} \\

& \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta ={{Y}_{1}}^{0} \\

& \int_{0}^{2\pi }{d\phi \int_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta \sqrt{\frac{1}{4\pi }}\cos \vartheta \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta }}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\

& \Rightarrow {{d}_{13}}=\left\langle  200 \right|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left| 210 \right\rangle =\frac{e}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r{{r}^{2}}\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}}r\frac{1}{\sqrt{3}{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}{{a}_{0}}}r{{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}}=-3e{{a}_{0}} \\

\end{align}</math>

Somit existiert ein Erwartungswert des Dipolmomentes

:<math>{{d}_{13}}=\left\langle  200 \right|e{{\hat{x}}_{3}}\left| 210 \right\rangle =-3e{{a}_{0}}</math>

Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- Atoms, welches Konsequenz der l- Entartung ist!

Die charakteristische Größenordnung dieses Dipolmoments ist <math>{{a}_{0}}</math>
,
 also die Ausdehnung der Wellenfunktion!

=====Störungsrechnung:=====
''' '''Aufspaltung des Energieniveaus n=2  im elektrischen Feld

:<math>\bar{E}</math>

:

Säkulargleichung: <math>\sum\limits_{\alpha =1}^{4}{{}}\left( -\left| {\bar{E}} \right|{{d}_{\alpha \beta }}-E{{\delta }_{\alpha \beta }} \right){{c}_{\alpha }}=0</math>

Säkulardeterminante:

:<math>\left| \begin{matrix}

-E & 0 & -\left| {\bar{E}} \right|{{d}_{13}} & 0  \\

0 & -E & 0 & 0  \\

-\left| {\bar{E}} \right|{{d}_{13}} & 0 & -E & 0  \\

0 & 0 & 0 & -E  \\

\end{matrix} \right|=0={{E}^{2}}\left[ {{E}^{2}}-{{\left( \left| {\bar{E}} \right|{{d}_{13}} \right)}^{2}} \right]</math>

:<math>\Rightarrow E=0</math>

als zweifach entartetes Niveau und<math>E=\pm \left| {\bar{E}} \right|{{d}_{13}}=\mp 3e\left| {\bar{E}} \right|{{a}_{0}}</math>

Der Stark- Effekt ist also proportional zur eingeschalten Feldstärke. Man spricht deshalb auch vom linearen Stark- Effekt.

Daneben gibt es noch den quadratischen Stark- Effekt in allgemeinen kugelsymmetrischen Potenzialen <math>V\ne \frac{1}{r}</math>
,
 also ohne <math>l</math>

- Entartung. Also existiert in diesem Fall gar kein permanentes Dipolmoment und Störungsrechnung2. Ordnung wird nötig.

Ausgehend vom Niveau <math>{{E}_{2}}^{(0)}</math>

(4- fach entartet) erhalten wir das folgende Bild: