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Normalschwingungen
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==Zwei gekoppelte Pendel== Nun seien zwei Pendel über eine Feder der Federkonstante k gekoppelt: '''Zwei gekoppelte Pendel''' Hier nehmen wir für beide Pendel generalisierte Koordinaten: :<math>\begin{align} & {{q}_{1}}={{s}_{1}}={{\phi }_{1}}l \\ & {{q}_{2}}={{s}_{2}}={{\phi }_{1}}l \\ \end{align}</math> :<math>\begin{align} & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\ & V=mg{{z}_{1}}+mg{{z}_{2}}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=mgl(1-\cos \frac{{{q}_{1}}}{l})+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}+mgl(1-\cos \frac{{{q}_{2}}}{l}) \\ & V\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+\frac{1}{2}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\ \end{align}</math> Nun kann gefordert werden: :<math>V\approx \frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\sum\limits_{j,k=1}^{2}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\quad Forderung!}</math> Dies läßt sich direkt über die mehrdimensionale Taylorreihe zeigen, Mit Hilfe der Multiindizes: :<math>\begin{align} & {{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}^{2}} \right)}_{0}}={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{2}}^{2}} \right)}_{0}}=m\frac{g}{l}+k \\ & \left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}\partial {{q}_{2}}} \right)=mg\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}(\sin \frac{{{q}_{2}}}{l})-k\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=-k \\ \end{align}</math> Somit läßt sich die kinetische Energie angeben: Somit lassen sich '''kinetische Energie''' und '''Potenzial''' als Matrizen angeben: :<math>\begin{align} & {{T}_{lk}}=\left( \begin{matrix} m & 0 \\ 0 & m \\ \end{matrix} \right) \\ & {{V}_{lk}}=\left( \begin{matrix} m\frac{g}{l}+k & -k \\ -k & m\frac{g}{l}+k \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}</math> :<math>\begin{align} & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\ & V\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+\frac{1}{2}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\ & L=T-V=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2})-\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\ \end{align}</math> Die '''Bewegungsgleichungen''' ergeben sich als: :<math>\begin{align} & m{{{\ddot{q}}}_{1}}+\frac{g}{l}m{{q}_{1}}+k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\ & m{{{\ddot{q}}}_{2}}+\frac{g}{l}m{{q}_{2}}-k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\ \end{align}</math> Auch hier haben wir ein System gekoppelter Differenzialgleichungen. Als Loesungsansatz wählen wir: :<math>{{q}_{k}}={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}</math> Die resultierende '''Eigenwertgleichung''' lautet: :<math>\left( \begin{matrix} m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} & -k \\ -k & m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{A}_{1}} \\ {{A}_{2}} \\ \end{matrix} \right)=0</math> Aus der charakteristischen Gleichung gewinnen wir das charakteristische Polynom :<math>\begin{align} & 0=\det ({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}})={{m}^{2}}\left| \begin{matrix} \frac{g}{l}+\frac{k}{m}-{{\omega }^{2}} & -\frac{k}{m} \\ \frac{-k}{m} & \frac{g}{l}+\frac{k}{m}-{{\omega }^{2}} \\ \end{matrix} \right|=0 \\ & 0={{\omega }^{4}}-2\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right){{\omega }^{2}}+\frac{{{g}^{2}}}{{{l}^{2}}}+2\frac{gk}{lm}={{\omega }^{4}}-2\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right){{\omega }^{2}}+{{\left( \frac{g}{l}+\frac{k}{m} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{k}{m} \right)}^{2}} \\ \end{align}</math> :<math>{{\omega }_{1,2}}^{2}=\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right)\pm {{\left( \frac{k}{m} \right)}^{{}}}=\left\{ \begin{matrix} \frac{g}{l} \\ \frac{g}{l}+2\left( \frac{k}{m} \right) \\ \end{matrix} \right.</math> Somit kennt das System die folgenden {{FB|Eigenfrequenzen}}: :<math>{{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}}:={{\omega }_{0}}</math> ungestörte Pendelfrequenz :<math>{{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}}:={{\sqrt{{{\omega }_{0}}^{2}+2{{{\tilde{\omega }}}^{2}}}}_{{}}}</math> Die zugehörigen Eigenvektoren lauten: :<math>\left( m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }_{a}}^{2} \right){{A}_{1}}^{a}-k{{A}_{2}}^{a}=0</math> Somit ergibt sich mit der ungestörten Pendelfrequenz w1: :<math>k{{A}_{1}}^{1}-k{{A}_{2}}^{1}=0\Rightarrow \left( \begin{matrix} {{A}_{1}}^{1} \\ {{A}_{2}}^{1} \\ \end{matrix} \right)\propto \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)</math> Aus der Eigenfrequenz w2 ergibt sich: In '''Normalkoordinaten''' gilt für die Lösung des Ortes: :<math>{{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}^{1}{{Q}_{1}}+{{A}_{k}}^{2}{{Q}_{2}}</math> Bis auf einen konstanten Faktor. Die Umkehrung lautet: :<math>\left( \begin{matrix} {{Q}_{1}} \\ {{Q}_{2}} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} {{A}_{1}}^{1} & {{A}_{2}}^{1} \\ {{A}_{1}}^{2} & {{A}_{2}}^{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{q}_{1}} \\ {{q}_{2}} \\ \end{matrix} \right)</math> Mit der zu oben transponierten Matrix (Umkehrung) Die Eigenvektoren sind so zu normieren, dass: :<math>\begin{align} & \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{a}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}=m\sum\limits_{k}{{{\left| {{A}_{k}}^{a} \right|}^{2}}}=1} \\ & \Rightarrow \left( \begin{matrix} {{A}_{1}}^{1} \\ {{A}_{2}}^{1} \\ \end{matrix} \right)=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ & \left( \begin{matrix} {{A}_{1}}^{2} \\ {{A}_{2}}^{2} \\ \end{matrix} \right)=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}</math> Es folgt für die Normalkoordinaten: :<math>\begin{align} & {{Q}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}+{{q}_{2}})\quad Schwerpunktskoordinaten \\ & {{Q}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})\quad Relativkoordinaten \\ \end{align}</math> An {{FB|Normalschwingung}}en existiert somit: :<math>\begin{align} & {{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}} \\ & {{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}} \\ \end{align}</math> Dabei stellt ersteres die gleichphasige Schwerpunktsschwingung dar, letzteres repräsentiert die gegenphasige Relativschwingung. In Realität haben wir es mit einer beliebigen Überlagerung von Schwerpunktsschwingung und Relativschwingung zu tun. Dabei treten Überlagerungszustände als Schwebung auf. In Realität erhält man eine reine Schwerpunktschwingung, wenn die Anfangsbedingungen reine Lösung der Schwerpunktsskoordinaten sind. Eine Relativschwingung ergibt sich, wenn die Anfangsbedingung exakt eine Lösung der Relativkoordinaten repräsentieren.
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