Editing Klein- Gordon- Gleichung (section)

== Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen! ==

Ansatz: ebene Welle:
:<math>\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}</math>

In Viererschreibweise:

:<math>\bar{k}\bar{r}-\omega t=-\left( \frac{\omega }{c}ct-\bar{k}\bar{r} \right)=-{{k}_{j}}{{x}^{j}}=-{{k}^{j}}{{x}_{j}}</math>

mit <math>\begin{align}
& {{k}^{0}}=\frac{\omega }{c}={{k}_{0}} \\
& {{k}^{\alpha }}=-{{k}_{\alpha }} \\
\end{align}</math>

Wenn man derart die ebene Welle in die Klein-  Gordon- Gleichung einsetzt, so ergibt sich:
:<math>\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}={{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}^{j}}{{x}_{j}} \right\}</math>

eingesetzt in
:<math>\begin{align}
& -{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi =i{{k}^{j}}{{\partial }^{i}}{{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}_{j}}{{x}^{j}} \right\}={{k}^{j}}{{k}_{j}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi  \\
& \Rightarrow {{k}^{j}}{{k}_{j}}\equiv {{\left( \frac{\omega }{c} \right)}^{2}}-{{{\bar{k}}}^{2}}={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}} \\
& \Rightarrow {{\omega }^{2}}={{c}^{2}}\left[{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}+{{{\bar{k}}}^{2}} \right] \\
\end{align}</math>

Also kann man die Energie (Eigenwert) angeben zu

:<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math>

Der nichtrelativistische Grenzfall kann leicht durch Entwicklung der Wurzel für kleine Impulse angegeben werden:
:<math>E=\pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\sqrt{\left[1+{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]}\approx \pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[1+\frac{1}{2}{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]=\pm \left[{{m}_{0}}{{c}^{2}}+{{\frac{\left( \hbar \bar{k} \right)}{2{{m}_{0}}}}^{2}} \right]</math>

Gute Näherung für <math>\hbar k<<{{m}_{0}}c</math>

Grafisch:

'''E>0''' entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>

'''E<0''' dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse!
Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind.
Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum!
Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung!

Aus dem Vakuum!

Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen.  Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie!

Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums!
Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit  <math>m<0</math>
und der Ladung q.
Demnach äußert es sich uns als Antiteilchen mit der Masse <math>m>0</math>
und der Ladung -q:
Anregung eines Lochs im Vakuum- Teilchensee

reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.

Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine "Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit (Rate der spontanen/ induzierten Emission!) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung!