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====:==== # <math>b(P)</math> # sei eine universelle Funktion, hängt von A also nur über P(A) ab! # Seien <math>\left\{ {{A}_{i}} \right\}</math> # und <math>\left\{ {{A}_{j}}\acute{\ } \right\}</math> # 2 verschiedene (disjunkte) sample sets, z.B. 2 Subsysteme eines zusammengesetzten Systems: So gilt: Für 2 völlig unkorrelierte Subsysteme eines zusammengesetzten Systems gilt: b ist additiv, also: :<math>b(P\acute{\ }\acute{\ })=b(P)+b(P\acute{\ })</math> wobei nach Definition der Unkorreliertheit (stochastische Unabhängigkeit) gilt: :<math>P\acute{\ }\acute{\ }({{A}_{i}}{{A}_{j}}\acute{\ })=P({{A}_{i}})P\acute{\ }({{A}_{j}}\acute{\ })</math> dabei ist :<math>{{A}_{i}}{{A}_{j}}\acute{\ }</math> das direkte Produkt der beiden Zufallsvariablen, gegeben durch das Ereignistupel <math>\left\{ {{A}_{i}}{{A}_{j}}\acute{\ } \right\}</math> . 3) b(P)=0 für P=1, also für das sichere Ereignis :<math>\begin{align} & b(P)={{\log }_{2}}N \\ & f\ddot{u}rP=\frac{1}{N} \\ \end{align}</math> also im Falle von Gleichverteilung, welches maximale Unbestimmtheit darstellt! 4) <math>b(P)</math> ist stetig und wohldefiniert für <math>0\le P\le 1</math> '''Wegen der Additivität macht es Sinn:''' :<math>b(P)=f\left( \log P \right)</math> zu definieren. Es muss f noch bestimmt werden! Wegen 1) und 2) folgt: :<math>\begin{align} & f(\log P\acute{\ }\acute{\ })=f\left( \log P+\log P\acute{\ } \right)=!=f(\log P)+f(\log P\acute{\ }) \\ & \Rightarrow f(\log P)=a*\log P \\ \end{align}</math> Also: die Funktion sollte linear in log P sein! '''Bemerkung:''' Für 2 unkorrelierte Systeme ist die Länge der Nachricht = Informationsmaß bei maximaler Unbestimmtheit additiv. Dies motiviert Postulat 2) Aus 3) folgt: :<math>\begin{align} & f(\log P\acute{\ }\acute{\ })=f\left( \log P+\log P\acute{\ } \right)=!=f(\log P)+f(\log P\acute{\ }) \\ & \Rightarrow f(\log P)=a*\log P \\ & b(P)=a\log (P)=-a\log N=!={{\log }_{2}}N \\ & f\ddot{u}rP=\frac{1}{N} \\ & \Rightarrow a=-1 \\ & \log ={{\log }_{2}} \\ \end{align}</math> '''Konvention:''' Einheit für ein bit: :<math>\ln 2=\frac{\ln P}{{{\log }_{2}}P}</math> "bin" :<math>b({{P}_{i}})=-\ln {{P}_{i}}</math> Informationsmaß für die Nachricht, dass Ai eingetreten ist, falls :<math>{{P}_{i}}=P({{A}_{i}})</math> bekannt ist!
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