Editing Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen (section)

====Aharanov- Bohm- Effekt====

Zunächst werde ein Magnetfeld <math>\bar{B}(\bar{r})</math>im Inneren einer  langen Spule erzeugt.
Außerhalb der Spule sei B=0

Die Spule werde von einem zeitlich konstanten Strom durchflossen, so dass <math>\bar{B}(\bar{r})</math>zeitunabhängig wird.
Außerhalb der Spule ist B=0, jedoch muss das Vektorpotenzial nicht notwendigerweise verschwinden. Es darf nur keine Wirbel aufweisen.
Außerhalb der Spule gilt:

:<math>\begin{align}
& \bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0 \\
& \Rightarrow \bar{A}=\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\
\end{align}</math>
Das Vektorpotenzial muss sich als Gradient eines skalaren Feldes darstellen lassen (im Außenraum).
Betrachten wir den Bereich <math>\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0</math>
Wir können das magnetostatische Potenzial <math>\Lambda (\bar{r})</math>retour aus dem Vektorpotenzial gewinnen:
:<math>\begin{align}
& \Lambda (\bar{r})=\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}} \\
& \Rightarrow \nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\
\end{align}</math>
Wegen <math>\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0</math>ist das System integrabel → Lösbar durch Integration!
Für einen beliebigen Weg innerhalb des einfach zusammenhängenden Gebietes mit <math>\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0</math>
Unsere Wellenfunktion gehorcht der Gleichung:
:<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+e\Phi \Psi (\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)</math>
Wir führen die Eichtransformation durch:
:<math>\bar{A}\acute{\ }=\bar{A}-\nabla \Lambda (\bar{r}):=\bar{A}+\nabla G(\bar{r})=0</math>
Wie oben gezeigt wurde, gehorcht nun die Wellenfunktion
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\Lambda (\bar{r},t)}}</math>
der Gleichung <math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla  \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)</math>
Ansatz: Umeichung der Wellenfunktion bei der Eichtransformation der Potenziale!

Also:
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}</math>

Der Phasenterm ist also wegabhängig! Es kommt zu Interferenzen!
Dabei gilt:
:<math>\Psi (\bar{r},t):\bar{A}\ne 0</math>

und für
:<math>\Psi \acute{\ }(\bar{r},t):\bar{A}\acute{\ }=0</math>