Editing Reale Gase (section)

====Kalorische Zustandsgleichung====

Aus der Gibbschen Fundamentalgleichung folgt (vergl. § 3.3, S. 77)

:<math>{{\left( \frac{\partial u}{\partial v} \right)}_{T}}=-p+T{{\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)}_{V}}</math>

was sich mit Hilfe der Van- der Waals- Gleichung ergibt zu

:<math>-\frac{RT}{v-b}+\frac{a}{{{v}^{2}}}+T\frac{R}{v-b}=\frac{a}{{{v}^{2}}}</math>

Für die spezifische Wärme

:<math>{{c}_{v}}={{\left( \frac{\partial u}{\partial T} \right)}_{V}}</math>

gilt:

:<math>\begin{align}

& {{\left( \frac{\partial {{c}_{v}}}{\partial v} \right)}_{T}}=\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial T\partial v}=\frac{\partial }{\partial T}\left( \frac{a}{{{v}^{2}}} \right)=0 \\

& \Rightarrow {{c}_{v}}={{c}_{v}}(T) \\

\end{align}</math>

Also: Auch beim Van- der Waals- Gas hängt cv  nur von der Temperatur ab und ändert sich nicht bei verdünnung (Vergrößerung von V)

* wie beim idealen Gas:
* <math>{{c}_{v}}=\frac{3}{2}R</math>
*  im Normalbereich!

:<math>\begin{align}

& du={{\left( \frac{\partial u}{\partial T} \right)}_{V}}dT+{{\left( \frac{\partial u}{\partial v} \right)}_{T}}dv={{c}_{v}}dT+\frac{a}{{{v}^{2}}}dv \\

& u\left( T,v \right)={{c}_{v}}T-\frac{a}{v}+const. \\

\end{align}</math>

Allgemein:

:<math>u\left( T,v \right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}{{c}_{v}}(T\acute{\ })dT\acute{\ }-a\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{{{v}_{0}}} \right)</math>

Im '''Gegensatz '''zum idealen Gas hängt u von v ab!!

* bei irreversibler Expansion (ohne Arbeitsleistung gegen einen äußeren Druck und ohne Wärmeaustausch, also adiabatisch!)

gilt:

:<math>\begin{align}

& \Delta u\left( T,v \right)={{c}_{v}}\Delta T-a\Delta \frac{1}{v}=!=0 \\

& \Rightarrow \Delta T<0 \\

& f\ddot{u}r \\

& \Delta v=-{{v}^{2}}\Delta \frac{1}{v}>0 \\

\end{align}</math>

* die Temperatur nimmt ab! Es wird Arbeit geleistet gegen die intermolekulare Anziehung
* → die kinetische Energie der Moleküle nimmt ab!

'''Nebenbemerkung'''

beim idealen Gas nimmt T ab bei Expansion mit Arbeitsleistung gegen den äußeren Druck

(Impulsübertrag auf den Kolben)