Editing Poisson- Klammern (section)

====Bezug zur Quantenmechanik====

Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich:

Von der klassischen Variablen 
:<math>g(\bar{q},\bar{p},t)</math>
zum qm. Operator: 
:<math>g:H→H</math>
mit dem Hilbertraum H

Von der Poissonklammer: 
:<math>\left\{ f,g \right\}\to \frac{1}{i\hbar }\left[ f,g \right]</math>
zum Kommutator

Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:


:<math>\begin{align}
  & \left\{ {{q}_{k}},{{q}_{j}} \right\}=0\quad \to \left[ {{q}_{k}},{{q}_{j}} \right]=0 \\ 
 & \left\{ {{p}_{k}},{{p}_{j}} \right\}=0\quad \to \left[ {{p}_{k}},{{p}_{j}} \right]=0 \\ 
 & \left\{ {{q}_{k}},{{p}_{j}} \right\}={{\delta }_{kj}}\quad \to \left[ {{q}_{k}},{{p}_{j}} \right]=i\hbar {{\delta }_{kj}} \\ 
\end{align}</math>


Die Hamiltonfunktion H(q,p,t) geht über zum Hamilton- Operator

Die Bewegungsgleichungen:


:<math>\begin{align}
  & \frac{dg(\bar{q},\bar{p},t)}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)}+\frac{\partial g}{\partial t}=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}+\frac{\partial g}{\partial t}=:\left\{ g,H \right\}+\frac{\partial g}{\partial t} \\ 
 & \to \frac{dg}{dt}=\frac{1}{i\hbar }\left[ g,H \right]+\frac{\partial g}{\partial t} \\ 
\end{align}</math>


Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde.

Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.

[[Kategorie:Mechanik]]