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Lippmann- Schwinger- Gleichung
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==Berechnung des inversen Operators== :<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}</math> Hier: {{FB|Greenscher Operator}}, sogenannte {{FB|Resolvente}} (auch: Residuum!) der Schrödingergleichung. Methode: Transformation auf Impulsdarstellung (Fourier- Transformation) und komplexe Integration. Aber: die Lösung ist nicht eindeutig, je nach Wahl des Integrationsweges ergeben sich unterschiedliche Egebnisse (Integrationsweg in der komplexen Ebene). Dementsprechend ergeben sich verschiedene Randbedingungen Die Festlegung erfolgt durch Addition eines kleinen komplexen Terms <math>i\varepsilon </math>. Am Schluss kann man dann <math>\varepsilon \to 0</math> gehen lassen. Damit ergibt sich als {{FB|Lippmann- Schwinger- Gleichung}} :<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit! Mit ;auslaufender Welle: <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> ;Streuwelle : <math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> und ;einlaufender Welle: <math>\left| \Phi \right\rangle </math> (Lösung des ungestörten Problems) Die auslaufende Welle <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle!
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