Editing Kräftefreie Schrödingergleichung (section)

==== Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden: ====
'''Sei  t=0'''

:<math>\Psi (x,0)=\int_{-\infty }^{\infty }{dk\tilde{\Psi }(k)}{{e}^{ikx}}</math>

Dies ist gerade die Fourierdarstellung mit der Fourier- Transformierten

:<math>\begin{align}
& \Phi (k)=\sqrt{2\pi }\tilde{\Psi }(k): \\
& \Phi (k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{dx\Psi (x,0)}{{e}^{-ikx}} \\
\end{align}</math>

Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation.


===== Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func) =====
[[File:Rectangular_function.svg|miniatur]]


:<math>\tilde{\Psi }(k)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}{dx{{e}^{-ikx}}=}\frac{1}{2\pi }\left. \frac{{{e}^{-ikx}}}{-ik} \right|_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}=\frac{\Delta x}{2\pi }\frac{\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)}{k\frac{\Delta x}{2}}</math>

Die Fouriertransformierte der Rec- Funktion ist als die Sincfunktion mit der inversen Breite der Spaltfunktion.
Denn:
:<math>\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)</math>
moduliert im k- Raum entsprechend schnell, wenn die Konstante
:<math>\Delta x</math>
entsprechend groß ist !
[[File:Sinc_function_(normalized).svg|miniatur]]

Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten:

:<math>{{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{{}}}}{k}=\frac{\hbar k}{m}</math>
Grund ist die nichtlineare Dispersionsbeziehung
:<math>\omega (k)</math>

Das quantenmechanische Wellenpaket zeigt nun bereits im kräftefreien Fall Dispersion (Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen im Vakuum).
Das heißt, beispielsweise ein lokalisiertes Gauß- Paket „zerfließt " bei Ausbreitung mit der Gruppengeschwindigkeit v<sub>g</sub>.
Dies muss im Sinne von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. (Interessantes Argument gegen Befürworter einer Theorie von Materiedichte: Das Auseinanderlaufen des Paketes wäre ein Widerspruch zur Stabilität der Materie !) Es handelt sich um eine Verbreiterung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und nicht um ein  Zerfließen von Materie !!
Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !!
Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!
[[Datei:Wave_packet_(dispersion).gif|miniatur]]