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Klein- Gordon- Gleichung
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== Klein- Gordon- Gleichung == Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math> ein Lorentz- Skalar ist. Dies liegt einfach daran, dass <math>\Box={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math> Lorentz- invariant ist (Skalarprodukt eines Vierervektors) Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung: der Spin (der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist!) kann nicht berücksichtigt werden! Denn: Der Zusatz <math>\hat{H}\to \hat{H}-\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math> ist nicht mehr Lorentz- invariant! Klar! <math>\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math> läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen! Durch die schwierige Interpretation von <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math> ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen <math>\begin{align} & \Psi (\bar{r},0) \\ & \frac{{{\partial }^{{}}}}{\partial t}\Psi (\bar{r},0) \\ \end{align}</math> nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen! Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist!: Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung (Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet: :<math>{{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math> Mit der Vierersstromdichte <math>{{J}^{i}}</math> Mittels <math>\begin{align} & {{\partial }_{0}}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{0}}}=\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t} \\ & {{\partial }_{\alpha }}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \\ \end{align}</math> schreibt sichs: :<math>\begin{align} & \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0 \\ & {{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=div\bar{J} \\ \end{align}</math> Dadurch ist jedoch <math>\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0</math> eine Kontinuitätsgleichung. Also hat <math>{{J}^{0}}</math> die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte!! Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen: :<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math> folgt durch c.c.: :<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi *</math> Dabei kann man <math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math> mit <math>\Psi *</math> und <math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi *</math> mit<math>\Psi </math> multipliziert werden. Nun subtrahiere man die beiden Gleichungen und man erhält: :<math>\Psi *{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\left( \Psi *\Psi -\Psi \Psi * \right)=0</math> Somit kann man folgern: :<math>{{\partial }_{i}}\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right)=0</math> Also ist zulässig: :<math>\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right):={{J}^{i}}\to {{\partial }_{i}}\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right)={{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math> Also :<math>\left( \Psi *{{\partial }^{0}}\Psi -\Psi {{\partial }^{0}}\Psi * \right)={{J}^{0}}=\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)</math> Aber <math>\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)</math> kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, da <math>{{J}^{0}}</math> negativ werden kann! Statt dessen kann man, bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math> als eine Ladungsdichte ansehen!
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