Editing Identische Teilchen: Spin und Statistik (section)

====Symmetrisierungsoperator====
:<math>\hat{S}:=\frac{1}{N!}\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{(r)}}</math>

:<math>{{\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{S}}:=\hat{P}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math>

Der Operator erzeugt einen Zustand der symmetrisch ist bei der Vertauschung von je 2 Teilchen.
:<math>\hat{A}</math>
und<math>\hat{S}</math>
sind hermitesch und idempotent: <math>\hat{A}={{\hat{A}}^{2}};{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math>.
 Das bedeutet: Sie sind Projektoren. Sie projizieren einen Zustand auf den SYMMETRISCHEN oder den ANTISYMMETRISCHEN Anteil.

'''N=2:'''
:<math>\hat{S}+\hat{A}=1</math>.
 Dies entspricht einer Vollständigkeitsrelation.
Nun können wir deutlich sehen, was eine solche VOLLSTÄNDIGKEIT eigentlich bedeutet. Hier: der Operator symmetrisiert oder antisymmetrisiert. Dies ist genau dann vollständig, wenn JEDE 2- Teilchen- Funktion entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist.

:<math>\hat{S}</math>
projiziert auf den symmetrischen Unterraum des Hilbertraumes <math>H\times H</math>.
<math>\hat{A}</math>
dagegen projiziert  auf den antisymmetrischen Unterraum des Hilbertraumes <math>H\times H</math>.


Für N>2  (Siehe oben, kompliziertere Symmetrien denkbar) projizieren <math>\hat{S}+\hat{A}</math>
auf einen echten Teilraum des Hilbertraumes <math>H\times H</math>.

:<math>\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{p}}{{\hat{P}}_{(r)}}</math>
oder <math>\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{(r)}}</math>
würden insgesamt, als Gesamtzustand gesehen, einen nichtnormierten Zustand erzeugen, der nämlich aus<math>N!</math>
normierten  Zuständen besteht . Durch den Vorfaktor <math>\frac{1}{N!}</math>
wird die Normierung garantiert!