Editing Elektrisches Feld und Potenziale (section)

== Der Gaußsche Integralsatz ==

{{Satz|
:<math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>
|name=Gaußscher Integralsatz}}
wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet!

:<math>\begin{align}
& \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\rho \left( {\bar{r}} \right)}={{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right) \\
& \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right) \\
\end{align}</math>

Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.

:<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>

sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind.
Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre
:<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right),\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>

<u>'''Äquivalente Aussagen der Elektrostatik'''</u>

* <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>   besitzt ein skalares Potenzial  <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>

* <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>, also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen  ist wegunabhängig

* <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math> : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei

Es gilt:

:<math>1)\Leftrightarrow 2)\Leftrightarrow 3)</math>

'''Beweis:'''
:<math>1)\Leftrightarrow 3)</math>
<u>'''Stokescher Satz:'''</u>
{{Satz|
:<math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>|name=Stokescher Satz}}
für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
:<math>\partial F</math>.