Editing
Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt
(section)
Jump to navigation
Jump to search
Warning:
You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you
log in
or
create an account
, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.
Anti-spam check. Do
not
fill this in!
==Der generalisierte statistische Operator== Wollen nun aus :<math>\eta \left( \rho \right)\to \rho </math> sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen :<math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> (Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft: → wir maximieren <math>\eta \left( \rho \right)</math>also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von <math>{{G}_{\nu }}</math>“vorurteilsfrei“. Nebenbedingung: :<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{G}_{\nu }} \right)</math> z.B E, N :<math>\operatorname{Tr}\left( \rho \right)=1</math> Ergebnis bevor es bewiesen wird: {{Def|Der statistische Operator R der alle Forderungen: :<math>\eta \left( \rho \right)=\text{maximal}\text{,}\quad \text{Tr}\left( {{G}_{\nu }}\rho \right)=\text{Tr}\left( {{G}_{\nu }}R \right),\quad \operatorname{Tr}\left( R \right)=1</math> erfüllt heißt {{FB|generalisierter kanonischer statistischer Operator}} (GKSO) :<math>{{R}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}=\frac{1}{{{Z}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}</math> |generalisierter kanonischer statistischer Operator}} {{Def| :<math>{{Z}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}\equiv Z=\operatorname{Tr}\left( {{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)</math> Normierungsfaktor und wird Zustandssumme genannt|Zustandssumme}} es tauchen Lagrangefaktoren <math>\lambda_\nu</math> auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern <math>\lambda_\nu</math> noch unbestimmt: Beispiel :<math>G_1=H, R~e^{\frac{H}{kT}}, \lambda_1=\frac{1}{kT}</math> Bedeutung der Zustandssumme :<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =-\frac{1}{z}\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}</math> bestimmen die Messgrößen (<math>G_\nu</math>) aus :<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( {{G}_{\nu }}\frac{{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}}{Z} \right)</math> :<math>\rho=R</math> liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von <math>h_\alpha(t)</math> die Dichtematrixgleichungen gelöst werden. ===Beweis für GKSO=== (in 3 Schritten) <u>a) Unschärfemaß für R ableiten:</u> :<math>R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}},\quad \ln R=-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-\ln Z</math> :<math>\begin{align} & \eta \left( R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( -R\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-R\ln Z \right) \\ & =-k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +k\ln Z \\ \end{align}</math> '''Idee''' des Beweises: wir nehmen einen beliebigen statistischen Operator <math>\rho</math> und zeigen <math>\eta(R)\ge\eta(\rho)</math> <u>b)</u> :<math>\operatorname{Tr}\left( \rho \ln R \right)\underbrace{=}_{\text{ansehen}}-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}\underbrace{\operatorname{Tr}\left( \rho {{G}_{\nu }} \right)}_{\operatorname{Tr}\left( R{{G}_{\nu }} \right)}-\ln Z\equiv \operatorname{Tr}\left( R\rho R \right)</math> <u>c)</u> <math>tr\left( \rho \ln \rho \right)-tr\left( R\ln R \right)\ge 0</math> :<math>tr\left( \rho \ln \rho \right)-tr\left( R\ln R \right)</math> spiegels später wieder was größer ist nach b) :<math>=tr\left( \rho \ln \rho \right)-tr\left( \rho \ln R \right)</math> mit :<math>\begin{align} & \rho \left| {{r}_{m}} \right\rangle ={{r}_{m}}\left| {{r}_{m}} \right\rangle \\ & R\left| {{w}_{n}} \right\rangle ={{w}_{n}}\left| {{w}_{n}} \right\rangle \\ \end{align}</math> folgt :<math>=\sum\limits_{m}^{{}}{\underbrace{\left\langle {{r}_{m}} | {{r}_{m}} \right\rangle }_{1}}{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-\sum\limits_{m}^{{}}{{}}{{r}_{m}}\left\langle {{r}_{m}} \right|\ln R\left| {{r}_{m}} \right\rangle </math> :<math>\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left| {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} \right|=1</math> :<math>\begin{align} & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} | {{r}_{m}} \right\rangle {{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-{{r}_{m}}\left\langle {{r}_{m}} \right|\ln R\left| {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} | {{r}_{m}} \right\rangle \right]} \\ & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( \ln {{r}_{m}}-\ln {{R}_{n}} \right) \right]} \\ & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( -\ln \frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]} \\ \end{align}</math> mit <math>\ln \left( x \right)\le x-1</math> folgt :<math>\begin{align} & \sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( -\ln \frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]}\ge \sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( 1-\frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]} \\ & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}\left( {{r}_{m}}-{{R}_{n}} \right) \right]}=\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}}=\sum\limits_{n}^{{}}{{{R}_{n}}} \\ \end{align}</math> :<math>\begin{align} & \to \operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho \right)\ge \operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)\quad |-k \\ & \eta \left( \rho \right)\le \eta \left( R \right) \\ \end{align}</math> R hat offensichtlich das maximale unschärfemaß f die vorgegebenen Nebenbedingungen
Summary:
Please note that all contributions to testwiki are considered to be released under the Creative Commons Attribution (see
Testwiki:Copyrights
for details). If you do not want your writing to be edited mercilessly and redistributed at will, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource.
Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel
Editing help
(opens in new window)
Navigation menu
Personal tools
Not logged in
Talk
Contributions
Log in
Namespaces
Page
Discussion
English
Views
Read
Edit
Edit source
View history
More
Search
Navigation
Main page
Recent changes
Random page
Physikerwelt
Tools
What links here
Related changes
Special pages
Page information