Editing Verallgemeinerte kanonische Verteilung (section)

== Informationstheoretisches Prinzip==
(nach (Jaynes 1922-1998))

Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die '''minimale Information''' enthält:

Also: <math>I(P)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=!=Minimum</math>

Nebenbed.:
:<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}=1 \\ 
 & \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \\ 
 & n=1,...,m \\ 
\end{align}</math>

<u>Variation</u>: <math>\delta I=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}+1 \right)\delta {{P}_{i}}</math>


Es gilt: von den  N Variationen  <math>\delta {{P}_{i}}</math>  sind nur N-m-1  unabhängig voneinander!

:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\delta {{P}_{i}}=0</math>

Lagrange- Multiplikator <math>\lambda =-\left( \Psi +1 \right)</math>

:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{M}_{i}}^{n}\delta {{P}_{i}}=0</math>


Lagrange- Multiplikator <math>{{\lambda }_{n}}</math>

<u>Anleitung</u>: Wähle <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> so, dass die Koeffizienten von <math>\left( m+1 \right)\delta {{P}_{i}}</math>´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar!

Somit:

:<math>\Rightarrow \delta I=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}-\Psi +{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)\delta {{P}_{i}}=!=0</math>


Vorsicht: Auch Summe über <math>\nu</math> (Einsteinsche Summenkonvention!)


{{Def|:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> '''verallgemeinerte kanonische Verteilung'''|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}

Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math>  sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt!

===Kontinuierliche Ereignismenge===


:<math>I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)\ln \rho (x)}=!=Minimum</math>


unter der Nebenbedingung


:<math>\begin{align}
  & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}=1 \\ 
 & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}{{M}^{n}}(x)=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \\ 
 & n=1,...,m \\ 
\end{align}</math>


Durchführung einer Funktionalvariation: 
:<math>\delta \rho (x)</math>



:<math>\begin{align}
  & \delta I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\left( \ln \rho (x)+1 \right)\delta \rho (x)}=0 \\ 
 & \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\delta \rho (x)}=0 \\ 
 & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x{{M}^{n}}(x)\delta \rho (x)}=0 \\ 
 & \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\left( \ln \rho -\Psi +{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)\delta \rho (x)}=0 \\ 
 & \Rightarrow \rho (x)=\exp (\Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}) \\ 
\end{align}</math>


'''Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics'''

{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|St7B|5.4.13|Kap 5.4.3 S46}}}}