Editing Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase (section)

====Spezifische Wärme bei Schwingungen====

:<math>{{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)</math>

n=0,1,2,....

Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators!

Also:

:<math>\begin{align}

& {{Z}_{S}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\exp \left( -\beta \left( \hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \right) \right)=\exp \left( -\beta \hbar \omega \frac{1}{2} \right)\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{\left[ \exp \left( -\beta \hbar \omega  \right) \right]}^{n}} \\

& =\exp \left( -\beta \hbar \omega \frac{1}{2} \right)\frac{1}{1-\left[ \exp \left( -\beta \hbar \omega  \right) \right]} \\

& {{U}_{S}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}_{S}}=N\left( \frac{1}{\left[ \exp \left( \beta \hbar \omega  \right)-1 \right]}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega =N\left( \left\langle n \right\rangle +\frac{1}{2} \right)\hbar \omega  \\

& {{c}_{Vs}}={{N}_{A}}\frac{\partial }{\partial T}\left( \frac{1}{\left[ \exp \left( \frac{\hbar \omega }{kT} \right)-1 \right]}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega ={{N}_{A}}k\frac{{{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}^{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}}}{{{\left( {{e}^{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}}-1 \right)}^{2}}} \\

& {{\Theta }_{S}}:=\frac{\hbar \omega }{k} \\

\end{align}</math>

Damit ergibt sich für Wasserstoff


Wie man sieht, werden die Schwingungsfreiheitsgrade erst bei wesentlich höheren Temperaturen angeregt. Dies liegt im Wesentlichen an der geringen Masse von Wasserstoff

(kleine Masse → <math>\omega =\sqrt{\frac{{{k}_{Hook}}}{m}}</math>

sehr groß!)

tabellarisch:

	<math>{{\Theta }_{S}}</math>

H2
	6340K
HCl
	4140K
N2
	3380K
O2
	2270K
Cl2
	810K
Br2
	470K
J2
	305K


Für

:<math>T>>{{\Theta }_{S}}</math>

nähert man:

:<math>\begin{align}

& {{U}_{S}}\approx N\left( \frac{1}{\frac{\hbar \omega }{kT}}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega \approx N\left( kT+\frac{1}{2}\hbar \omega  \right) \\

& {{C}_{Vs}}\approx Nk \\

& {{c}_{Vs}}\approx NkR \\

\end{align}</math>

Auch dies entspricht wieder dem klassischen Gleichverteilungssatz!

:<math>T<<{{\Theta }_{S}}</math>

:<math>{{c}_{Vs}}\approx R{{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}^{2}}{{e}^{-\frac{{{\Theta }_{S}}}{T}}}\tilde{\ }{{e}^{-\frac{{{\Theta }_{S}}}{T}}}</math>

Allgemein gilt:

:<math>{{\Theta }_{S}}>>{{\Theta }_{R}}</math>

Molekülschwingungen bleiben bis zu wesentlich höheren Temperaturen eingefrohren als die Rotation!

* Bei Zimmertemperatur  ist im Allgemeinen die Schwingungswärme vernachlässigbar!
* → es gilt:   f=5   für ein zweiatomiges Molekül!

:<math>{{c}_{V}}\approx \frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R</math>

bei Zimmertemperatur!