Editing Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen (section)

==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==
===reine Zustände===
:<math>\left| \Psi  \right\rangle </math>  heißt {{FB|reiner Zustand}} (Vektorzustand)

Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math> (Maximalmessung):

:<math>{{\left| \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}=\left\langle  \Psi   |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi  \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math>

Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>:
:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle \left\langle  \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle </math>

Falls <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math>:
:<math>\begin{align}
& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\
& =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\
\end{align}</math>

Schreibweise mit  Projektor auf Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>:
:<math>\begin{align}
& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\
& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|\hat{X}\left| \alpha  \right\rangle  \\
\end{align}</math>

in einer völlig beliebigen Basis <math>\left| \alpha  \right\rangle </math>
:

'''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
:<math>\begin{align}
& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|\hat{X}\left| \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \alpha   |  \beta  \right\rangle \left\langle  \beta  \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \beta \acute{\ }  |  \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta  \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \beta \acute{\ }  |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \beta  \right\rangle  \\
& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \beta \acute{\ }  |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \beta  \right\rangle =\left\langle  \beta \acute{\ }  |  \beta  \right\rangle ={{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\
& tr\hat{X}=\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta  \right|\hat{X}\left| \beta  \right\rangle  \\
\end{align}</math>

Also gleich in Basis Alpha wie Beta!

===Quantenmechanisches Gemisch===

Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7

# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>(prinzipielle Unschärfe)

Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle </math>

* Zusätzliche Statistik

# <u>'''Unvollständige Information '''</u>über den Mikrozustand des Systems (z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
#  wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen!

Basis der Mikrozustände :
:<math>\left| \alpha  \right\rangle </math>
→ sample set der Zufallsereignisse
:<math>{{P}_{\alpha }}</math>
Wahrscheinlichkeitsverteilung

:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle </math>
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left| \alpha  \right\rangle </math>

:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \beta  \right\rangle \left\langle  \beta   |  \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \beta   |  \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \beta  \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta  \right|\hat{\rho }\hat{M}\left| \beta  \right\rangle </math>

Also:
:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math>

mit dem statistischen Operator (Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math>)
:

:<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>

Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht!

====Summary====
Bemerkung:

'''Reine Zustände '''→ kohärente  Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
:<math>\begin{align}
& \left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle  \\
& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \alpha \acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle  \\
\end{align}</math>

mit den quantenmechanischen Phasen
:<math>\left\langle  \Psi   |  \alpha  \right\rangle ,\left\langle  \alpha \acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle </math>

* es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math>
* nicht diagonal in <math>\left| \alpha  \right\rangle </math>
* 

'''Gemisch: '''Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
:<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha  \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>

:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha   |  \beta  \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle  \beta  \right|\hat{M}\left| \beta  \right\rangle </math>

* keine quantenmechanischen Interferenzterme!
* → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden!

'''Normierung '''des statistischen Operators:

:<math>\begin{align}
& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta   |  \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha   |  \beta  \right\rangle  \\
& \left\langle  \alpha   |  \beta  \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\
& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}=1 \\
\end{align}</math>

Darstellung reiner Zustände
:<math>\left| \Psi  \right\rangle :\hat{\rho }=\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|</math>

Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand!
:<math>\begin{align}
& \hat{\rho }=\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\
& \Rightarrow \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right) \\
\end{align}</math>

einheitliche Darstellung!!
'''Nebenbemerkung'''

Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs (klassisch + quantenmechanisch)

Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra <math>M</math>
der Observablen:

:<math>\begin{align}
& \hat{\rho }:M\to R \\
& \hat{M}\to tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)=\left\langle {\hat{M}} \right\rangle  \\
\end{align}</math>

reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände!

====Informationsmaße====

Shannon- Information: <math>I\left( \rho  \right)=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\ln {{P}_{\alpha }}=tr(\hat{\rho }\ln \hat{\rho })</math>

'''Nebenbemerkung:'''
:<math>\ln \hat{\rho }</math>
ist (wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
:<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha  \right|}</math>

'''Informationsgewinn:'''
:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math>

Eigenschaften wie im klassischen Fall:
:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]\ge 0</math>

====Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator====

Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math>

Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left| \alpha  \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben!

:<math>\begin{align}
& \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \\
& \Psi =-\ln tr\left( \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \right) \\
\end{align}</math>

'''Nebenbemerkung:'''
Die <math>{{\hat{M}}^{n}}</math> müssen nicht miteinander kommutieren, aber <math>\begin{align}
& \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\
& n=1,...,m \\
\end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind! (im thermodynamischen Gleichgewicht)

{{Def|
'''Kanonischer Statistischer Operator:'''
:<math>\begin{align}
& \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\
& Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\
\end{align}</math>|Kanonischer Statistischer Operator}}

'''Übung:'''
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
:<math>\left\langle {\hat{N}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{N} \right)</math>

Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math>
(Fock- Raum)