Editing Poisson- Klammern (section)

====Beweis: Trafo:  x→y====
Die Jacobi- Determinante 
:<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}</math>
ist symplektische Matrix,

das heißt, es gilt: 
:<math>{{M}^{T}}JM=J\Leftrightarrow {{M}^{-1}}J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=J</math>,
 da ja 
:<math>{{M}^{-1}}J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}JJ{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}=J</math>


Nun muss man umrechnen von :


:<math>\begin{align}
  & \frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial f}{\partial {{y}_{k}}}\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}=}\sum\limits_{k}{{{M}_{ki}}^{-1}\frac{\partial f}{\partial {{y}_{k}}}\Leftrightarrow {{{\bar{f}}}_{x}}={{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{{\bar{f}}}_{y}}\Leftrightarrow {{{\bar{f}}}_{x}}^{T}={{{\bar{f}}}_{y}}^{T}\left( {{M}^{-1}} \right)} \\ 
 & {{{\bar{f}}}_{x}}^{T}J{{{\bar{g}}}_{x}}={{{\bar{f}}}_{y}}^{T}\left( {{M}^{-1}} \right)J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{{\bar{g}}}_{y}}={{{\bar{f}}}_{y}}^{T}J{{{\bar{g}}}_{y}} \\ 
\end{align}</math>


Also:


:<math>\left( {{{\bar{f}}}_{x}},{{{\bar{g}}}_{x}} \right)=\left( {{{\bar{f}}}_{y}},{{{\bar{g}}}_{y}} \right)</math>


Für nicht explizit zeitabhängige Observable 
:<math>g(\bar{q},\bar{p})</math>
gilt:


:<math>\frac{dg}{dt}=\left\{ g,H \right\}</math>


g ist genau dann Bewegungskonstante, wenn gilt:


:<math>\left\{ g,H \right\}=0</math>


Speziallfall: g ist Koordinate der Impuls: 
:<math>g={{q}_{k}},g={{p}_{k}}</math>



:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{q}}}_{k}}=\left\{ {{q}_{k}},H \right\} \\ 
 & {{{\dot{p}}}_{k}}=\left\{ {{p}_{k}},H \right\} \\ 
\end{align}</math>


So folgen die Hamiltonschen Gleichungen

Kompakt kann geschrieben werden:


:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{x}}}_{k}}=\left\{ {{x}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}} \\ 
 & also:\dot{\bar{x}}=J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\ 
\end{align}</math>


Fundamentale Poisson- Klammern:


:<math>\begin{align}
  & \left\{ {{q}_{k}},{{q}_{j}} \right\}=0 \\ 
 & \left\{ {{p}_{k}},{{p}_{j}} \right\}=0 \\ 
 & \left\{ {{q}_{k}},{{p}_{j}} \right\}={{\delta }_{kj}} \\ 
\end{align}</math>


Kompakt:


:<math>\left\{ {{x}_{k}},{{x}_{j}} \right\}=\sum\limits_{l,m}{\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{x}_{l}}}{{J}_{lm}}\frac{\partial {{x}_{j}}}{\partial {{x}_{m}}}={{J}_{kj}}\cong \left( \begin{matrix}
   0 & 1  \\
   -1 & 0  \\
\end{matrix} \right)}</math>


Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen, da


:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>


Jedoch ist auch die Umkehrung richtig: ist die Transformation kanonisch, so gelten die obigen Poissonklammer- Beziehungen.

Somit:

Satz: Die Transformation 
:<math>\left( \bar{q},\bar{p} \right)\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right)</math>
ist genau dann kanonisch, wenn :


:<math>\begin{align}
  & \left\{ {{Q}_{k}},{{Q}_{j}} \right\}=0 \\ 
 & \left\{ {{P}_{k}},{{P}_{j}} \right\}=0 \\ 
 & \left\{ {{Q}_{k}},{{P}_{j}} \right\}={{\delta }_{kj}} \\ 
\end{align}</math>


<u>'''Beweis: '''</u>Zur Vereinfachung: Nicht explizit zeitabhängige Trafos: 
:<math>\frac{\partial M}{\partial t}=0\Leftrightarrow \bar{H}=H</math>


Bewegungsgleichung:


:<math>{{\dot{y}}_{k}}=\left\{ {{y}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}</math> Wegen <math>\left( {{{\bar{f}}}_{x}},{{{\bar{g}}}_{x}} \right)=\left( {{{\bar{f}}}_{y}},{{{\bar{g}}}_{y}} \right)</math>
 kann nun die Bewegungsgleichung in den alten Koordinaten gebildet werden:


:<math>{{\dot{y}}_{k}}=\left\{ {{y}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j,l=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\frac{\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\left\{ {{y}_{k}},{{y}_{l}} \right\}}</math>


Also folgt:


:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{y}}}_{k}}=\left\{ {{y}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j,l=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\frac{\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\left\{ {{y}_{k}},{{y}_{l}} \right\}} \\ 
 & {{{\dot{y}}}_{k}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\Leftrightarrow {{J}_{kl}}=\left\{ {{y}_{k}},{{y}_{l}} \right\}} \\ 
\end{align}</math>


Mit der Bedeutung


:<math>{{\dot{y}}_{k}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}}</math>
Hamiltonsche Bewegungsgleichung in den neuen Koordinaten → Trafo kanonisch


:<math>{{J}_{kl}}=\left\{ {{y}_{k}},{{y}_{l}} \right\}</math>
  fundamentale Poissonklammern in den neuen Koordinaten

Somit ergibt sich ein einfach nachprüfbares Kriterium für kanonische Transformationen!

Folgende Aussagen sind äquivalent:


:<math>\bar{x}=\left( \begin{matrix}
   {\bar{q}}  \\
   {\bar{p}}  \\
\end{matrix} \right)\to \bar{y}=\left( \begin{matrix}
   {\bar{Q}}  \\
   {\bar{P}}  \\
\end{matrix} \right)</math>
ist kanonisch


:<math>\Leftrightarrow </math>
die kanonischen Gleichungen 
:<math>\dot{\bar{x}}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>
sind invariant


:<math>\Leftrightarrow </math>
die Poissonklammern {f,g} sind invariant für alle f und g


:<math>\Leftrightarrow </math>
die fundamentalen Poissonklammern 
:<math>{{J}_{kl}}=\left\{ {{x}_{k}},{{x}_{l}} \right\}</math>
sind ivariant


:<math>\Leftrightarrow </math>
die Jacobi- Matrix 
:<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}</math>
ist symplektisch, das heißt 
:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>



:<math>\Leftrightarrow </math>
es existiert eine Erzeugende!