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Normalschwingungen
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==Normalkoordinaten== Ziel: Transformiere auf neue generalisierte Koordinaten, so dass die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten entkoppeln. Seien diese neuen Koordinaten :<math>{{Q}_{j}}</math> so soll gelten: :<math>{{\ddot{Q}}_{j}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{j}}=0\quad j=1,...,f</math> Dies wird bekanntlich erreicht durch eine {{FB|Hauptachsentransformation}} der symmetrischen Matrizen <math>V_{lk}</math> und <math>T_{lk}</math> Die Transformation ist das '''Diagonalisierungsverfahren'''. Dazu werden '''reell''' gewählte '''Eigenvektoren''' :<math>{{A}_{k}}^{(a)}</math> eingesetzt. In diesen müssen sich dann die generalisierten Koordinaten mit den {{FB|Normalkoordinaten}} als Entwicklungskoeffizienten darstellen lassen: :<math>\begin{align} & {{q}_{k}}(t)=\sum\limits_{a=1}^{f}{{}}{{A}_{k}}^{(a)}{{Q}_{a}} \\ & \\ \end{align}</math> Die diagonalisierte Matrix kann die Koordinatentransformation als Abbildung vollständig darstellen: :<math>\vec{q}=A\vec{Q}\quad mit\ \vec{q},\vec{Q}\in {{R}^{f}}</math> Bleibt zu zeigen, dass Vlk und Tlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert werden: Es gelten die Eigenwertgleichungen: :<math>\begin{align} & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right. \\ & \sum\limits_{l}{({{V}_{kl}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{l}}^{b}=0\left| \cdot \sum\limits_{k}{{{A}_{k}}^{b}} \right.} \\ \end{align}</math> :<math>\begin{align} & \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{b}({{V}_{lk}}-{{V}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}-{{A}_{l}}^{b}({{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}}=0 \\ & {{V}_{lk}}={{V}_{kl}} \\ & \sum\limits_{k,l}{({{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}){{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}}=0 \\ \end{align}</math> Die Annahme lautet nun noch: :<math>{{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}\ne 0</math> Die Eigenwerte sind nicht entartet, natürlich für verschiedene a/b Somit folgt jedoch :<math>\sum\limits_{k,l}{{}}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}</math> Im wesentlichen ist dieser Ausruck (die transformierte kinetische Energie)Null für verschiedene a und b. Bei geeigneter Normierung kann er für a=b gleich 1 gesetzt werden. Die Trafo ist also eine verallgemeinerte orthogonale Trafo. Es folgt wegen :<math>\sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right.</math> dass <math>\begin{align} & \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0} \\ & \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}{{A}_{k}}^{a})=\sum\limits_{k,l}{{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}}}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}} \\ \end{align}</math> Also werden Tlk und Vlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert. ===Lagrangefunktion=== :<math>\begin{align} & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\ & L=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{a,b}{\left( \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{{\dot{Q}}}_{a}}{{{\dot{Q}}}_{b}}-\sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{Q}_{a}}{{Q}_{b}}}} \right)} \right) \\ & \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}} \\ & \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}}} \\ & L=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{a}{\left( {{{\dot{Q}}}_{a}}^{2}-{{\omega }_{a}}^{2}{{Q}_{a}}^{2} \right)} \right) \\ \end{align}</math> In der tat entkoppeln nun die Bewegungsgleichungen: :<math>{{\ddot{Q}}_{a}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{a}}=0\quad a=1,...,f</math> {{Beispiel|'''Beispiel: Pendel''' Leicht kann man sich an einer Skizze klar machen: :<math>z=l(1-\cos \phi )</math> Als verallgemeinerte Koordinate kann man die Bogenlänge wählen: :<math>q=s=\phi l</math> :<math>\begin{align} & T=\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}} \\ & V=mgz=mgl(1-\cos \phi )\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}^{2}} \\ \end{align}</math> Die Entwicklung des Potenzials kann auführlich gezeigt werden.}}
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