Editing Kräftefreie Schrödingergleichung (section)

===Wellenpakete===
[[Datei:Wave packet (no dispersion).gif|miniatur]]
Ebene Wellen der Form
:<math>\Psi (\bar{r},t)=C{{e}^{i(kx-\omega t)}}</math>
haben eine räumlich homogene Wahrscheinlichkeitsdichte |C|², falls dieser Vorfaktor nicht vom Ort abhängt ( im Gegensatz zu Kugelwellen).
Die Phase verschwindet bei Betragsbildung völlig!
Lokalisierte Zustände können grundsätzlich durch die Superposition ebener Wellen dargestellt werden:

:<math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{\tilde{\Psi }(\bar{k})}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}{{d}^{3}}k \\
& \omega (\bar{k})=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m} \\
\end{align}</math>

Man kann sich derartige Wellenpakete veranschaulichen:
'''eindimensional:'''
Die Phase kx-w(k)t kann nun um k=ko entwickelt werden:


:<math>\omega (\bar{k})=\omega ({{k}_{0}})+{{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}(k-{{k}_{0}})+....</math>

Dabei sei:

:<math>\begin{align}
& \omega ({{k}_{0}}):={{\omega }_{0}} \\
& (k-{{k}_{0}}):=k\acute{\ } \\
& {{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}={{v}_{g}} \\
\end{align}</math>

Somit folgt für obige Wellenfunktion ( unser Paketchen):

:<math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{i\left[ ({{k}_{0}}+k\acute{\ })x-({{\omega }_{0}}+{{v}_{g}}k\acute{\ })t \right]}} \\
& \Psi (\bar{r},t)={{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}} \\
\end{align}</math>

Dabei stellt
:<math>{{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}</math>
ein Trägerwelle mit der Phasengeschwindigkeit
:<math>{{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math>
dar und
:<math>\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}</math>
repräsentiert eine Einhüllende A(x,t), die langsam zeit- und ortsveränderlich ist, da ja nur die Terme mit
:<math>\left| k\acute{\ } \right|<<{{k}_{0}}</math>
nennenswerte Beiträge zum Integral liefern.
Wegen der Taylorentwicklung ,macht dieser Schritt jedoch nur Sinn für Systeme, die um k0 lokalisiert sind ! Also für impulsmäßig lokalisierte Systeme ( endliche Farbbandbreite eines Lichtpulses etc...).
Grafisch:


Bewegung der Einhüllenden:
Setze:
:<math>A(x,t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}=const</math>

Dies gilt jedoch nur infinitesimal. Man kann jedoch das MAXIMUM von A(x,t) wählen:

:<math>dA(x,t)=\frac{\partial A(x,t)}{\partial x}dx+\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}dt</math>

:<math>dA(x,t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}\left\{ ik\acute{\ }dx-ik\acute{\ }{{v}_{g}}dt \right\}=0</math>

Dies jedoch bedingt:

:<math>\left\{ ik\acute{\ }dx-ik\acute{\ }{{v}_{g}}dt \right\}=0</math>
Also:

:<math>dx={{v}_{g}}dt\Rightarrow {{\left. \frac{dx}{dt} \right|}_{A=const}}={{v}_{g}}</math>

Jedenfalls bewegt sich der Schwerpunkt mit der Gruppengeschwindigkeit vg

:<math>{{v}_{g}}={{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}=\frac{\hbar {{k}_{0}}}{m}=\frac{{{p}_{0}}}{m}=v</math>
als klassische Teilchengeschwindigkeit

==== Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden: ====
'''Sei  t=0'''

:<math>\Psi (x,0)=\int_{-\infty }^{\infty }{dk\tilde{\Psi }(k)}{{e}^{ikx}}</math>

Dies ist gerade die Fourierdarstellung mit der Fourier- Transformierten

:<math>\begin{align}
& \Phi (k)=\sqrt{2\pi }\tilde{\Psi }(k): \\
& \Phi (k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{dx\Psi (x,0)}{{e}^{-ikx}} \\
\end{align}</math>

Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation.


===== Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func) =====
[[File:Rectangular_function.svg|miniatur]]


:<math>\tilde{\Psi }(k)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}{dx{{e}^{-ikx}}=}\frac{1}{2\pi }\left. \frac{{{e}^{-ikx}}}{-ik} \right|_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}=\frac{\Delta x}{2\pi }\frac{\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)}{k\frac{\Delta x}{2}}</math>

Die Fouriertransformierte der Rec- Funktion ist als die Sincfunktion mit der inversen Breite der Spaltfunktion.
Denn:
:<math>\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)</math>
moduliert im k- Raum entsprechend schnell, wenn die Konstante
:<math>\Delta x</math>
entsprechend groß ist !
[[File:Sinc_function_(normalized).svg|miniatur]]

Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten:

:<math>{{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{{}}}}{k}=\frac{\hbar k}{m}</math>
Grund ist die nichtlineare Dispersionsbeziehung
:<math>\omega (k)</math>

Das quantenmechanische Wellenpaket zeigt nun bereits im kräftefreien Fall Dispersion (Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen im Vakuum).
Das heißt, beispielsweise ein lokalisiertes Gauß- Paket „zerfließt " bei Ausbreitung mit der Gruppengeschwindigkeit v<sub>g</sub>.
Dies muss im Sinne von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. (Interessantes Argument gegen Befürworter einer Theorie von Materiedichte: Das Auseinanderlaufen des Paketes wäre ein Widerspruch zur Stabilität der Materie !) Es handelt sich um eine Verbreiterung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und nicht um ein  Zerfließen von Materie !!
Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !!
Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!
[[Datei:Wave_packet_(dispersion).gif|miniatur]]