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Kinetische Energie und Trägheitstensor
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====Beweis des Transformationsverhaltens für==== :<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math> Zunächst zum Skalarprodukt: :<math>\begin{align} & {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}} \\ & \Rightarrow \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}}=\sum\limits_{t}{\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{tl}}{{R}_{ts}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=}\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{\left( \sum\limits_{t}{{}}{{R}_{lt}}^{T}{{R}_{ts}} \right){{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{\delta }_{ls}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{{{x}_{l}}^{2}}}}} \\ \end{align}</math> das Skalarprodukt ist also invariant Aber auch das Delta- Element ist invariant: :<math>\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{\delta }_{ls}}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{nl}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{\ln }}^{T}={{\delta }_{mn}}}</math> Kompakt: :<math>R1{{R}^{T}}=R{{R}^{T}}=1</math> Also: :<math>\begin{align} & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{ls}}-{{x}_{l}}^{(i)}{{x}_{s}}^{(i)} \right]} \\ & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ } \right] \\ \end{align}</math> Der Trägheitstensor J´ in den neuen Koordinaten ist also gleich dem alten, was Transformationsverhalten eines Tensors zweiter Stufe belegt: Dabei gilt: :<math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math> ist der invariante Anteil :<math>{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ }</math> hängt von der Wahl des körperfesten koordinatensystems ab. <u>'''Weitere Eigenschaften'''</u> # :<math>{{J}_{mn}}</math> enthält einen kugelsymmetrischen, also rotationsinvarianten Anteil :<math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math> # :<math>{{J}_{mn}}</math> ist linear in der Massendichte. Der Trägheitstensor ist also additiv beim Zusammenfügen zweier starrer Körper # :<math>{{J}_{mn}}</math> ist ein reeller, symmetrischer Tensor, dargestellt durch die reelle, symmetrisch Matrix :<math>\bar{\bar{J}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left( \begin{matrix} {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} & -{{x}_{1}}{{x}_{2}} & -{{x}_{1}}{{x}_{3}} \\ -{{x}_{1}}{{x}_{2}} & {{x}_{3}}^{2}+{{x}_{1}}^{2} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} \\ -{{x}_{1}}{{x}_{3}} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} & {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \\ \end{matrix} \right)}</math> Der Tensor ist diagonalisierbar durch die orthogonale Transformation :<math>{{R}_{0}}\in SO(3):</math> :<math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }={{R}_{0}}\bar{\bar{J}}{{R}_{0}}^{T}=\left( \begin{matrix} {{J}_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & {{J}_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & {{J}_{3}} \\ \end{matrix} \right)</math> Das heißt: Es existiert ein gedrehtes, körperfestes Koordinatensystem (y1,y2,y3) in Richtung der '''Hauptträgheitsachsen:''' :<math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}y\rho (\bar{y})\left( \begin{matrix} {{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & {{y}_{3}}^{2}+{{y}_{1}}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & {{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2} \\ \end{matrix} \right)}</math> Also: :<math>{{J}_{i}}\ge 0</math> i=1,..,3, Matrix positiv semidefinit. Die Diagonalisierung führt auf das Eigenwertproblem: :<math>\bar{\bar{J}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}={{J}_{i}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math> mit Eigenvektoren :<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math> und Eigenwerten Ji. Ein homogenes, lineares Gleichungssystem Ziel ist es nun, die Hauptachsenrichtung :<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math> so zu suchen, dass :<math>\bar{\bar{J}}</math> diagonal wird: :<math>\Leftrightarrow \det \left( \bar{\bar{J}}-{{J}_{i}}1 \right)=0</math> Somit ergeben sich 3 reelle, positiv semidefinite Eigenwerte Ji
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