Editing Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung (section)

====Beispiel: 1 dim Oszi====

1.
:<math>\begin{align}
  & H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}} \\
 & S(q,P,t) \\
\end{align}</math>


H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit
:<math>\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p</math>


Hamilton- Jacobi DGL:


:<math>\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>


2. Lösungsansatz:


:<math>S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)</math>


Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter


:<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}</math>


Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:


:<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const</math>



:<math>V(t)=-\alpha t+{{V}_{0}}</math>


Es folgt:


:<math>\begin{align}
  & {{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right) \\
 & W=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)} \\
\end{align}</math>


Also:


:<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t+{{V}_{0}}</math>


Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:


:<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha  \right|}} \right) \right]</math>
3.
:<math>\begin{align}
  & Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta  \\
 & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha  \right|}} \right) \\
 & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\
\end{align}</math>


Mit der Nebenbedingung, dass Q=to (Dimension: Zeit)!

4.
:<math>p=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (t+\beta ) \right)</math>


5. Anfangsbedingungen:  t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0!


:<math>p(0)=0,q(0)={{q}_{0}}\ne 0</math>



:<math>\begin{align}
  & \Rightarrow {{q}_{0}}=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (\beta ) \right) \\
 & 0={{p}_{0}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (\beta ) \right) \\
 & \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow {{q}_{0}}=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}} \\
 & \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E \\
\end{align}</math>


Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also:  P=E  (Energie) , Q= to (Zeit) → Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch
:<math>S(q,P,t)</math>
erzeugt wird.

'''Spezialfall:'''

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H


:<math>\frac{\partial H}{\partial t}=0\Leftrightarrow \frac{dH}{dt}=\left\{ H,H \right\}=0</math>
H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:


:<math>H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}})+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>


Lösungsansatz:


:<math>S(\bar{q},\bar{P},t)=W(\bar{q};\bar{P})-Et</math>


Somit folgt:


:<math>H(\bar{q},\frac{\partial W}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial W}{\partial {{q}_{f}}})=E</math>
Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen


:<math>W(\bar{q};\bar{P})</math>
heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo (im engeren Sinn) aufgefasst werden:


:<math>\begin{align}
  & {{p}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{q}_{j}}} \\
 & {{Q}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
 & \bar{H}=H=E \\
 & \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
\end{align}</math>