Editing Grundbegriffe der Mechanik (section)

=Grundbegriffe=
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Kinematik und Dynamik von Systemen von Massepunkten ohne Zwangsbedingungen: Newtonsche Mechanik

<u>'''Axiome Newtons'''</u>

# kräftefrei = geradlinig und gleichförmig Bewegung
# Beschleunigung: <math>\vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}\propto \vec{F}</math>
# actio = reactio
# lineares Superpositionsprinzip (lineare Superposition von Kräften)

<u>'''Bemerkungen'''</u>

Körper = Massepunkt (empirisch motiviert)

Kraft = mechanische Auswirkung einer nicht näher zu spezifizierenden Wechselwirkung (Gravitation, schwach, elektromagnetisch, stark)

Theorie der Kraft ist Feldtheorie und damit nicht Gegenstand der Mechanik

Erledigt: Edynamik. Ziel: GUT

Die Definition von geradlinig und gleichförmig ist operativ. Geradlinig bestimmt den starren Maßstab und gleichförmig die absolute zeit.(Uhr).

Dadurch werden Struktur von Raum und Zeit bestimmt.

Experimentell zeigte sich:

:	Der Raum ist homogen und isotrop (3dimensioal und euklidisch)

:	Zeit ist universell (unendlich schnelle Signalgeschwindigkeit)

Ereignis:

Dynamische Variable:
:<math>\vec{r}(t)</math>
ist Bahnkurve,
:<math>\vec{v}(t):=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\dot{\vec{r}}</math>
ist Tangentialvektor


==== 1. Newtonsches Axiom ====
existiert ein '''Inertialsystem''' (operativ durch kräftefreie Bewegung definiert).

Galilei- Transformation leistet die generelle Trafo zwischen 2 Inertialsystemen. [[Datei:CoordinateTranslation.png|miniatur|Zwei Koordinatensysteme]]

Bewege sich ein gestrichenes System mit vo nach rechts  und lagen die Ursprünge zur Zeit t aufeinander, so gilt für die allgemeine Trafo zwischen 2 Inertialsystemen:
:<math>\{K,t\}\to \{K\acute{\ },t\acute{\ }\}</math>



:<math>\begin{align}
  & \vec{r}(t)=\vec{r}\acute{\ }(t)+{{{\vec{v}}}_{o}}(t)\cdot t+{{{\vec{s}}}_{o}} \\
 & t\acute{\ }=t \\
\end{align}</math>


Dabei bezeichnet
:<math>{{\vec{s}}_{o}}</math>
den Koordinatenursprung des ungestrichenen Systems.

Sind die Koordinatensysteme gleichzeitig noch gegeneinander verdreht, so gilt:


:<math>\begin{align}
  & \vec{r}(t)=\overline{\overline{R}}\vec{r}\acute{\ }(t)+{{{\vec{v}}}_{o}}(t)\cdot t+{{{\vec{s}}}_{o}} \\
 & t\acute{\ }=t \\
\end{align}</math> wobei <math>\overline{\overline{R}}</math>
die Drehmatrix bezeichnet.

Gegen diese Form der Transformation ist die Newtonsche Mechanik forminvariant: '''Galilei- Invarianz'''


==== 2. Newtonsches Axiom ====


:<math>\vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}\propto \vec{F}</math>,
 dabei existiert ein skalarer Faktor m, die träge Masse

man gewinnt die Bewegungsgleichung:


:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})=m\frac{{{d}^{2}}}{{{(dt)}^{2}}}\vec{r}</math>


Dies ergibt 3 gekoppelte, nichtlineare Differenzialgleichungen

Es existiert jedoch eine eindeutige Lösung zu den Anfangsbedintgungen
:<math>({{t}_{o}},{{\vec{r}}_{o}}):\vec{r}(t;{{\vec{r}}_{o}},{{t}_{o}})</math>


Diese Lösung heißt Bahn oder auch Trajektorie oder Orbit.

==== 3. Newtonsches Axiom ====


:<math>{{\vec{F}}^{(12)}}+{{\vec{F}}^{(21)}}=0</math>


<u>'''Beispiel'''</u>

Man betrachte 2 Massepunkte in einem Inertialsystem (ohne äußere Kräfte)

Aus Actio = Reactio folgt sofort die Impulserhaltung: (die erste Kraft wird von 2 auf 1 ausgeübt!)


:<math>\begin{align}
  & {{{\vec{F}}}^{(12)}}={{m}^{(1)}}\frac{d}{{{(dt)}^{{}}}}{{{\vec{v}}}^{(1)}}={{m}^{(1)}}{{{\vec{a}}}^{(1)}} \\
 & {{{\vec{F}}}^{(21)}}={{m}^{(2)}}\frac{d}{{{(dt)}^{{}}}}{{{\vec{v}}}^{(2)}}={{m}^{(2)}}{{{\vec{a}}}^{(2)}} \\
 & \to \frac{d}{dt}\left( {{m}^{(1)}}{{{\vec{v}}}^{(1)}}+{{m}^{(2)}}{{{\vec{v}}}^{(2)}} \right)=0 \\
 & \to \frac{d}{dt}\left( {{{\vec{p}}}^{(1)}}+{{{\vec{p}}}^{(2)}} \right)=0 \\
 & \to {{{\vec{p}}}^{(1)}}+{{{\vec{p}}}^{(2)}}=const \\
\end{align}</math>



==== 4. Vektorcharakter der Kraft ====

Kräfte haben Vektorcharakter. Damit sind sie superpositionierbar.

Kräfte entsprechen Feldern. Die entstehenden Theorien sind damit dann lineare Feldtheorien.

Jedoch ist die Bewegungsgleichung
:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})=m\frac{{{d}^{2}}}{{{(dt)}^{2}}}\vec{r}</math> im Allgemeinen nichtlinear (im Ort, in der Bahnkurve r)

Die einzige Ausnahme bildet der harmonische Oszillator

:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})\propto \vec{r}</math>

==== Das Newtonsche Gravitationsgesetz (empirisch) ====


:<math>{{\vec{F}}^{(12)}}=-\gamma {{m}_{s}}^{(1)}{{m}_{s}}^{(2)}\frac{{{{\vec{r}}}^{(1)}}-{{{\vec{r}}}^{(2)}}}{{{\left| {{{\vec{r}}}^{(1)}}-{{{\vec{r}}}^{(2)}} \right|}^{3}}}</math>


Dabei ist die schwere Masse stets größer Null und gleich der trägen Masse (alle Körper fallen gleich schnell).

Die schwere Masse ist Maß für die Kopplungsstärke der gravitativen Wechselwirkung. Die Träge Masse ist Maß für die Fähigkeit eines Körpers, sich dem Einfluss einer Kraft zu widersetzen, also maß für die Kopplungsstärke der Bewegung mit der wirkenden Kraft. Dass schwere und träge Masse gleich sind ist nur experimentelle Erfahrung

Wählt man schwere und träge Masse gleich


:<math>{{m}_{t}}^{(1)}={{m}_{s}}^{(1)}\to \gamma =6,67\cdot {{10}^{-11}}\frac{{{m}^{3}}}{kg\cdot {{s}^{2}}}</math>
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__SHOWFACTBOX__
==Prüfungsfragen==
===Knorr===
Wie lauten die Newtonschen Gleichungen?

Potential: Wie ist konservative Kraft definiert?
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