Editing Formaler Aufbau der Quantenmechanik (section)

===Operatoren in der Quantenmechanik===
Definition: Ein '''{{FB|linearer Operator}}''' <math>\hat{A}:\mathcal{H}\to \mathcal{H}</math> (<math>\mathcal{H}</math> Hilbertraum), erfüllt
{{NumBlk|:|
:<math>\hat{A}\left( \left| \Psi  \right\rangle +c\left| \Phi  \right\rangle  \right)=\hat{A}\left| \Psi  \right\rangle +c\hat{A}\left| \Phi  \right\rangle </math>
:	|(2.15)|RawN=.}}
Beispiele:
# {{FB|Ortsoperator}}<math>\hat{x}</math> {{FB|Impulsoperator}} <math>\hat{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math>
für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math>
# n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>
:<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen.
Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>ist
{{NumBlk|:|
:<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\Psi }}:=\frac{\left\langle  \Psi  | \hat{A}\Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  | \Psi  \right\rangle }:=\frac{\left\langle \Psi \left| {\hat{A}} \right|\Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  | \Psi  \right\rangle }</math>
:	|(2.16)|RawN=.}}
{{NumBlk|:|Definition|(2.17)|RawN=.}}: {{FB|Matrixelement}} eines Operators <math>\left\langle n\left| {\hat{A}} \right|m \right\rangle </math>
Beispiele <math>\left| n \right\rangle \to {{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math>Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.

:<math>\hat{A}={{\hat{x}}^{2}}</math>
Dann ist <math>{{\left\langle {\hat{x}} \right\rangle }_{n}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\Psi }_{n}}^{*}\left( x \right){{x}^{2}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)dx=}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left| \Psi \left( x \right) \right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}</math>
{{NumBlk|:|Definition|(2.18)|RawN=.}}: Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A '''adjungierte Operator{{FB|adjungierter Operator}}''' A<sup>+</sup> ist definiert durch

:<math>\left\langle  \Psi  | A\Phi  \right\rangle =\left\langle  {{A}^{+}}\Psi  | \Phi  \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math>

{{NumBlk|:|Definition|(2.19)|RawN=.}}: Ein linearer Operator heißt {{FB|hermitesch}} ({{FB|selbstadjungiert}})<ref>i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)</ref>, <math>{{A}^{+}}=A</math> wenn

:<math>\left\langle  \Psi  | A\Phi  \right\rangle =\left\langle  A\Psi  | \Phi  \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math>

Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.
* Energie <math>\mathcal{H}</math>Hamiltonoperator
{{NumBlk|:|
:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V\left( {\underline{r}} \right)</math>
:	|(2.20)|RawN=.}}
für nichtrelativistische Teilchen der Masse
* Ort <math>\hat{r}</math>, Impuls <math>\hat{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math>, Drehimpuls{{FB|Drehimpuls}} <math>\hat{L}=\hat{r}\times \hat{p}</math>
* Spin ½ (Helizität) in Richtung <math>\hat{n}</math>für Dirac-Teilchen,
*
:<math>\frac{1}{2}\hat{n}\Sigma =\frac{1}{2}\left( \begin{matrix}
\hat{n}\underline{\sigma } & 0  \\
0 & \hat{n}\underline{\sigma }  \\
\end{matrix} \right)</math>
vgl.
Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal.
Damit erhält man die {{FB|Spektralzerlegung}} von Operatoren <math>\hat{A}</math>nach seinen Eigenzuständen, d.h.
{{NumBlk|:|
:<math>\hat{A}\left| n \right\rangle ={{a}_{n}}\left| n \right\rangle \Rightarrow \hat{A}=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}{{{\hat{P}}}_{n}}}</math>
:	|(2.21)|RawN=.}}
mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird.
Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt
:<math>{{\hat{P}}_{n}}=\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|</math>,
<math>\left| n \right\rangle </math>normiert.
Axiom:
Die möglichen Messwerte einer Observablen Â im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math> sind die Eigenwerte a<sub>n</sub>, die mit Wahrscheinlichkeit
{{NumBlk|:|	<math>prob\left( {{a}_{n}} \right)=\frac{\left\langle \Psi \left| {{{\hat{P}}}_{n}} \right|\Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi  | \Psi  \right\rangle }</math>
	|(2.22)|RawN=.}}
auftreten. Wird a<sub>n</sub> gemessen, so geht <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>instantan in <math>\frac{{{P}_{n}}\left| \Psi  \right\rangle }{\sqrt{\left\langle \Psi \left| {{P}_{n}} \right|\Psi  \right\rangle }}</math> über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).