Editing Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände (section)

====Beweis des Knotensatzes====
Zu JEDEM E existiert genau eine Lösung <math>{{\phi }_{E}}(x)</math>der Gleichung <math>\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)</math>mit <math>\begin{matrix}
\lim   \\
x\to -\infty   \\
\end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)=0</math> (Bilde z.B. Linearkombination von 2 linear unabhängigen Lösungen).
Dies gilt natürlich nur im nicht entarteten Fall! Wie er unter 2) für <math>{{V}_{\min }}(x)<E<{{V}_{+}}(x)</math>der Fall ist!
Nun ist dann aber im Allgemeinen <math>\begin{matrix}
\lim   \\
x\to +\infty   \\
\end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)\ne 0</math>. Verschiebt man nun E so, dass auch <math>\begin{matrix}
\lim   \\
x\to +\infty   \\
\end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)=0</math>  → dann erhalten wir die Energien, die die speziellen diskreten Eigenwerte E repräsentieren.
Die Behauptung ist: zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Inneren an den Rand wandern:

<u>'''Beweis:'''</u>
Sei <math>{{x}_{0}}(E)</math>eine Nullstelle von <math>{{\phi }_{E}}(x)</math>. Nun bilde man die Wronski- Determinante von <math>{{\phi }_{E}}(x)</math>und von <math>z(x):=\frac{\partial {{\phi }_{E}}(x)}{\partial E}</math>
Es gilt:
:<math>\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}=\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)dx}</math>
Dabei:
:<math>\begin{align}
& \left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}={{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}})-{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})z\acute{\ }({{x}_{0}})-{{\phi }_{E}}\acute{\ }(-\infty )z(-\infty )+{{\phi }_{E}}(-\infty )z\acute{\ }(-\infty ) \\
& {{\phi }_{E}}({{x}_{0}})={{\phi }_{E}}\acute{\ }(-\infty )=0 \\
& \Rightarrow \left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}={{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}}) \\
\end{align}</math>
Außerdem:
:<math>\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)={{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z+{{\phi }_{E}}\acute{\ }z\acute{\ }-{{\phi }_{E}}\acute{\ }z\acute{\ }-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ }</math>
Aus der Schrödingergleichung <math>\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)</math>folgt durch Differenziation nach der Energie:
:<math>z\acute{\ }\acute{\ }=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]z-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}{{\phi }_{E}}(x)</math>
Kombiniert man  dies mit <math>\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)</math>und <math>\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}=\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)dx}</math>
so folgt:
:<math>{{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}})=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx}>0</math>Mit<math>\begin{align}
& 0=\frac{d}{dE}{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})=\frac{\partial {{\phi }_{E}}({{x}_{0}})}{\partial E}+{{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})\frac{\partial {{x}_{0}}}{\partial E} \\
& \frac{\partial {{\phi }_{E}}}{\partial E}=z \\
\end{align}</math>
folgt schließlich:
:<math>0=\frac{d{{x}_{0}}}{dE}=-\frac{z({{x}_{0}})}{{{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})}=-z{{({{x}_{0}})}^{2}}{{\left[ \int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx} \right]}^{-1}}<0</math>
Also wandern die Nullstellen mit abnehmender Energie nach rechts. Bei jedem Eigenwert verschwindet eine Nullstelle bei <math>\infty </math>.
Für <math>E={{V}_{\min }}</math>hat <math>{{\phi }_{E}}(x)</math>KEINE endliche Nullstelle mehr:
Sonst wäre für <math>-\infty <{{x}_{0}}(E)<+\infty </math>:
:<math>\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }{{\phi }_{E}} \right)dx}=-\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }{{\phi }_{E}}\acute{\ } \right)dx}=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}(V-E)\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx}>0</math>
Also ein Widerspruch!