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Das ideale Bosegas
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== Bose- Einstein- Kondensation == Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet) Somit: :<math>\begin{align} & \left\langle {{N}_{0}} \right\rangle =\frac{1}{{{\xi }^{-1}}-1}=\frac{\xi }{1-\xi } \\ & \xi ={{e}^{\beta \mu }} \\ \end{align}</math> Fugazität Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für <math>\xi \approx 1</math> :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math> (alle Teilchen kondensieren im grundzustand) Allgemein: :<math>\begin{align} & \bar{N}=\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle +N\acute{\ } \\ & N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \\ \end{align}</math> 1) Normale Phase: :<math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}<<1</math> :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math> ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff. 2) kondensierte Phase :<math>\xi \approx 1</math> :<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math> unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>! Kontinuierlicher Fall: :<math>\frac{N\acute{\ }}{V}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{2\pi }{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{e}^{y}}-1}\approx \left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}}</math> Vergl. S. 141 :<math>\begin{align} & \frac{N\acute{\ }}{V}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{2\pi }{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{e}^{y}}-1}\approx \left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}} \\ & \frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}}=1 \\ & {{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}={{\lambda }^{-3}} \\ \end{align}</math> Dabei ist dies der '''nicht''' kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält! :<math>\begin{align} & \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ & \Rightarrow \frac{N\acute{\ }}{{\bar{N}}}={{\left( \frac{T}{{{T}_{C}}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ \end{align}</math> {{Def|Die kritische Temperatur ist definiert durch :<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math>|kritische Temperatur}} Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen: :<math>\begin{align} & \frac{\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle }{{\bar{N}}}=1-{{\left( \frac{T}{{{T}_{C}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\quad f\ddot{u}r\quad T<{{T}_{C}} \\ & \frac{\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle }{{\bar{N}}}=0\quad f\ddot{u}r\quad T>{{T}_{C}} \\ \end{align}</math> Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt! Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit! Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>: normale Phase - >Kondensierte Phase Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation è ein makroskopisches Quantenphänomen! Anwendung: Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math> bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!
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