Editing Zustände mit Bahn- und Spinvariablen (section)

== Pauli Gleichung ==

'''Anwendung: '''- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>

: <math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>

Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math> der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.

: <math>\begin{align}
& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
& \hat{H}\cong \left[\frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\
& \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\
\end{align}</math>

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>
eine Korrektur an die Energie.
'''Für B=0 → Eigenzustände mit Spin'''
:<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>

Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
:<math>B\ne 0</math>

:<math>\begin{align}
& \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\
& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[{{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\
\end{align}</math>

Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>- fachen Entartung (sogenannter {{FB|Anomaler Zeemann-Effekt}}!)

{{Gln| <math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>}}

Dies gilt für '''paramagnetische''' Atome mit magnetischem Moment <math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>.

Dabei entspricht <math>2</math> vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben!
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!

{|
|+Tabelle: Landé- Faktoren
!Teilchen!! s!! g!! Q
|-
|'''Elektron''' ||'''1/2''' ||'''2'''|| '''-e'''
|-
|'''Proton'''|| '''1/2'''|| '''5,59'''|| '''e'''
|-
|'''Neutron'''|| '''1/2'''|| '''-3,83'''|| '''0'''
|-
|'''Neutrino'''|| '''1/2'''|| '''0'''|| '''0'''
|-
||'''Photon'''|| '''1'''|| '''0'''|| '''0'''
|}