Editing Wirkungs- und Winkelvariable (section)

====Beispiel: eindimensionaler Oszillator====


:<math>H\left( q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}=E(I)</math>


'''Phasenbahn:'''


:<math>\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}</math>


Umkehrpunkte:


:<math>{{q}_{\pm }}=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}</math>


'''Wirkungsvariable:'''


:<math>\begin{align}
  & I(E)=\oint{pdq}=2m\omega \int\limits_{{{q}_{-}}}^{{{q}_{+}}}{{}}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}dq \\
 & I(E)=2m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}+\frac{E}{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}} \right]_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E \\
\end{align}</math>


'''Transformierte Hamiltonfunktion:'''


:<math>\begin{align}
  & \bar{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I \\
 & \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={{\nu }_{I}} \\
\end{align}</math>


Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

'''Nebenbemerkungen:'''

1.
:<math>I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E</math>
hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

#
:<math>\theta </math>
ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum (des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

* die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 (Kreis mit Radius 1) abgebildet.

<u>'''Verallgemeinerung auf beliebiges f:'''</u>

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz


:<math>{{\omega }_{j}}=\frac{2\pi }{{{\tau }_{j}}}</math>
ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls!

Falls:
:<math>{{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}</math>
rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls:
:<math>\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}</math>
irrational → offene Bahn (quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable
:<math>{{\theta }_{j}}</math> zu <math>{{\omega }_{j}}</math>
:

Abbildung auf
:<math>{{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}</math>
(f  mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus!

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