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Variationsprinzipien
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==Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung== Sei I : C² - > R ein Funktional Beispiel: :<math>q(t)\to I[q]:=\int\limits_{t1}^{t2}{dt}F(q(t),\dot{q}(t),t)</math> Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. (Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung). Die Aufgabe lautet nun: Suche ein q(t) derart, dass :<math>\delta I[q]=0</math> Das Funktional sollte also in q(t) extremal werden. Sprich, Maximum, Minimum oder Sattelpunkt aufweisen. ====Die Variierten Bahnen==== Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 (eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet. Dabei gilt: 1. :<math>q\acute{\ }(t)\in {{C}^{2}}</math> Die variierten Punkte stammen auch aus '''quadratintegrabelen komplexen Funktionen''' 2. :<math>\delta q(t):=q\acute{\ }(t)-q(t)</math> differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert. 3. :<math>\delta t=0</math> 4. :<math>\begin{align} & q\acute{\ }({{t}_{1}})=q({{t}_{1}}) \\ & q\acute{\ }({{t}_{2}})=q({{t}_{2}}) \\ \end{align}</math> Anfangs- und Endpunkt sind fest 5. :<math>\delta q({{t}_{1}})=\delta q({{t}_{2}})=0</math> Da die Variation der Integrationsgrenzen verschwindet kann Integration und Variation vertauscht werden: :<math>0=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(q,\dot{q},t)}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(q,\dot{q},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}}</math> Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss (Zeit wird nicht variiert). Für die variierte Geschwindigkeit gilt: :<math>\delta \dot{q}(t):=\dot{q}\acute{\ }(t)-\dot{q}(t)=\frac{d}{dt}(q\acute{\ }(t)-q(t))=\frac{d}{dt}\delta q</math> Also folgt mit Hilfe partieller Integration :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\frac{d}{dt}\delta q \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q \right]}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q{{\left. {} \right|}_{{{t}_{1}}}}^{{{t}_{2}}}</math> Da jedoch die Variation an den Grenzen t1 und t2 verschwindet gilt: :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}} \right]\delta q}=0</math> Da q jedoch völlig frei variierbar ist: {{Def|<math>\frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}=0</math> Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung|Euler-Lagrange-Gleichung]] Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip :<math>\delta I[q]=0</math> Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters: :<math>\alpha </math> : :<math>q(t,\alpha )=q(t)+\alpha \eta (t)</math> Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter :<math>\alpha </math> bei festem :<math>\eta (t)</math> parametrisiert. Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung"
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